例3.求xarctanxdx解 令u=arctanx,v=x,则所以arctanxxarctanxdxOdx7arctanx1+x-arctanx)+CarctanxX目录上页下页返回结束机动
例3. 求 解 令 则 所以 u x = arctan , v x = , 1 2 = arctan 2 x x 1 2 = arctan 2 x x − − 1 ( arctan ) + . 2 x x C − − 2 1 1 (1 ) 2 1 + dx x x xdx arctan 1 2 = arctan 2 x x − 2 2 12 1 +x dx x 2 1 = 1 + u , x 1 2 = 2 v x , x xdx arctan
例4.求「e"sinxdx.解 令u=sinx,v'=e则u'=cosx，v=e,所以[e'sinxdx=je'"sinx -fe cos xdx再令u=cosx, v=ex,则u=-sinx, y=exe"sinx -e" cosx -e'sinxdx故[e'sinxdx=(sinx -cosx) + C.22说明：也可设u=e,v=sinx，但两次所设类型必须一致目录上页下页返回结束机动
例4. 求 则 再令 则 故 说明: 也可设 但两次所设类型必须 一致 . 解 令 u x = sin , v e = x , u x = cos , v e = x , 所以 sin x e xdx= sin x e x − cos x e xdx u x = cos , = , x v e u x = s − in , = , x v e = sin x e x − cos x e x − sin x e xdx sin x e xdx= cos − 1 (sin ) + . 2 x e x x C = n , , =si x u e v x sin . x e xdx
例5. 求arccosxdx.解令u=arccosx，=1,则1所以arccosxdx = xarccosxA=xarccosxC=xarccosx-1目录上页下页返回结束机动
例5. 求 解 令 u x = a r c c o s , v = 1 , 则 − − 2 1 = 1 u , x v x = , 所以 cos arc xdx = arc x x cos − 2 + 1 x dx x = arc x x cos − − − 2 2 1 1 (1 ) 2 1 d x x = arc x x cos − − 2 1 + . x C
Incosx例6.求2COSX则解 令u=lncosx,cos-xu =-tanx,v= tanx,所以Incosx = tan x· Incosx +f tan’ xdxdxcos? x= tan x ncos x +[(sec? x -1)dx=tanx·lncosx+tanx-x+C上页目录下页返回结束机动
例6. 求 解 令 则 所以 cos cos 2 ln . x dx x cos cos 2 ln x dx x = ln tan cos x x = ln tan cos x x = ln + + . tan cos tan x x x x C − sec − 2 + ( 1) x dx tan 2 + xdx cos 21 v = , x u x = lncos , u x v x = = −tan tan ,
Vxdx.例7.求解 令Vx=t,则 x=t2,dx=2tdt，所以[e x dx = 2] te' dt令u=t, y=e= 2(tet -et)+C=2(Vx-1)eVx +C.目录上页下页返回结束机动
例7. 求 则令 解 令 x e dx u t = , x t = , 2 x t = , dx tdt = 2 , 所以 = 2 t te dt = t v e = 2( ) + − t t te e C = 2( 1) + . − x x e C