auai2...aun.........D=ba+Cabn+C2..ba+Cm........*aalan2...am则D等于下列两个行列式之和：aia12ainana12atn...D=bi2bmbaCi2**+CaCin.anlan2anama.an2性质6将行列式的某一行（列）所有元素都乘以同一个数k后，加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。证明将行列式D=det(a）的第j行所有元素都乘以同一数k后，加到第i（ij）行的对应元素上去，得...anai2aun...........aa+ka,amn + kama,2 +kaj2.D=...........a2..ama..............an2amnaal由性质5得D=D+D,其中aidina12..........",kajka2kajD =...aj..ajay2...anlan2.am由性质4得D, = 0故D=D例1计算行列式312-113-4-5D=201-11-5-3解6
6 n n nn i i i i in in n a a a b c b c b c a a a D 1 2 1 1 2 2 11 12 1 = + + + 则 D 等于下列两个行列式之和： n n nn i i in n a a a b b b a a a D 1 2 1 2 11 12 1 = n n nn i i in n a a a c c c a a a 1 2 1 2 11 12 1 + 性质 6 将行列式的某一行（列）所有元素都乘以同一个数 k 后，加到另一行（列）的对应元素上去， 行列式的值不变。 证明 将行列式 det( ) D = aij 的第 j 行所有元素都乘以同一数 k 后，加到第 i （ i j ）行的对应元素上 去，得 n n nn j j jn i j i j in jn n a a a a a a a k a a k a a k a a a a D 1 2 1 2 1 1 2 2 11 12 1 + + + = 由性质 5 得 D = D + D1 其中 n n nn j j jn j j jn n a a a a a a k a k a k a a a a D 1 2 1 2 1 2 11 12 1 1 = 由性质 4 得 D1 = 0 故 D = D 例 1 计算行列式 1 5 3 3 2 0 1 1 5 1 3 4 3 1 1 2 − − − − − − D = 解
3-1213-12[13-12121-53-40-84-601-1D=021214-10-10-8-6-513-27-27-30160163-121213-1201-1021-1=1x2×8×5= 40-10008081002520001500-10例2计算行列式[1+a,2+a3+a,D=1+az2+a23+az1+a2+a33+as解将第一列乘以(-1)，分别加到第二列、第三列上去，即得[1+a12]D=2=01+a211+a312例3计算n阶行列式011.011..1D=1101......*..1110解n-1n-1n-1n-11111101101...1...1100D=1111= (n- 1)............,......1111..0-01111..000-1...00-10=(-1)"-(n-1)= (n- 1)..".........-.000-1.例4计算行列式abdca+ba+b+ca+b+c+daD=2a+b3a+2b+c4a+3b+2c+daa3a+b6a+3b+c10a+6b+3c+d解从第4行开始，后行减去前行，d[abcdabc00a+ba+b+ca+ba+b+caaD=0002a+b3a+2b+ca2a+ba103a+b03a+b0a6a+3b+ca7
7 5 1 3 3 0 2 1 1 1 5 3 4 1 3 1 2 − − − − − − D = − 0 16 2 7 0 2 1 1 0 8 4 6 1 3 1 2 − − − − − = − 0 16 2 7 0 8 4 6 0 2 1 1 1 3 1 2 − − − − − = 0 0 10 15 0 0 8 10 0 2 1 1 1 3 1 2 − − − − = 2 5 0 0 0 0 0 8 10 0 2 1 1 1 3 1 2 − − − = 40 2 5 =128 = 例 2 计算行列式 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 a a a a a a a a a D + + + + + + + + + = 解 将第一列乘以 (−1) ，分别加到第二列、第三列上去，即得 D = 0 1 1 2 1 1 2 1 1 2 3 2 1 = + + + a a a 例 3 计算 n 阶行列式 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 D = 解 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 − − − − = n n n n D 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 ( 1) = n − 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 ( 1) − − − = − n ( 1) ( 1) 1 = − − − n n 例 4 计算行列式 a a b a b c a b c d a a b a b c a b c d a a b a b c a b c d a b c d D + + + + + + + + + + + + + + + + + + = 3 6 3 10 6 3 2 3 2 4 3 2 解 从第 4 行开始，后行减去前行， a a b a b c a a b a b c a a b a b c a b c d D + + + + + + + + + = 0 3 6 3 0 2 3 2 0 a a b a a b a a b a b c a b c d + + + + + = 0 0 3 0 0 2 0