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第六节 Green 公式 Gauss 公式 推广 一、高斯公式 二、通量与散度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高斯公式 通量与散度 第十一章
一、高斯（Gauss）公式定理1设空间闭区域Q由分片光滑的闭曲面Z所围成,, 函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) ，在Q 上有,则有一阶连续偏导数OR2Fdv =Pdydz+Qdzdx+Rdxdy(Gauss 公式)其中是2整个边界曲面的外侧HIGHEDUCATIONPRESS
一、高斯 ( Gauss ) 公式 定理1 设空间闭区域 由分片光滑的 所 ,则有 围成, 函数 (Gauss 公式) 其中 是整个边界曲面的 。 ，在 上有
证明：设Q:z(x,y)≤z(x,y)≤z2(x, y), (x,y)eDxyZ= Zi UZ2 UZ3, Zi : z = zi(x,y), Z2 : z = z2(x,y)T22(x,y)oRaR一Z245则dxdydzdyazzi(x,y)2DOxWW)?[(R(x, y, 22(x, y))- R(x, y, zi(x, y)) )d xd yD2Dxyf Rdxrdy =RdxdyRdxdy+Rdxdy+xZ3Z=-R(x, y, zi(x, y)d xdy +R(x, y,z2(x, y))dxdyDDXORJdv=§Rdxdy所以07HIGH EDUCATION PRESS
2 3 1 z y x Dxy R(x, y, )− R(x, y, ) d xd y : ( , ), 1 1 z = z x y 证明: 设 , = 12 3 z z z x y R z x y d ( , ) ( , ) 2 1 ( , ) 2 z x y ( , ) 1 z x y : ( , ), 2 2 z = z x y 则 R(x, y, z 1 (x, y))d xdy R(x, y, z2 (x, y ))dxdy 所以
ap-dv =f Pdydz川类似可证oxdv= fQd dxO即得 Gauss 公式：三式相加，apaRaodv =Pdydz+Qdzdx+ RdxdyoxQHIGH EDUCATION PRESS
类似可证 三式相加, 即得 Gauss 公式：
F(x-y)dxdy+(y-2)xdydz例1 用Gauss公式计算其中为柱面=1及平面z = 0,z=3所围空间Ix+v:闭域Q的整个边界曲面的外侧令P=(y-z)x, Q=0, R=x-y解：apaRa则=0由Gauss公式oxozJJ (y-2)dv原式=29元" do[pd p(psin0-2) dz =思考：若Z改为内侧，结果有何变化？若乙为圆柱侧面(取外侧），如何计算HIGH EDUCATION PRESS
例1 用Gauss 公式计算 其中 为柱面 闭域 的整个边界曲面的外侧. 解: 令 由Gauss 公式 原式 = x 3 o z 1 y P = (y − z)x, Q = 0, R = x − y 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 则