兰=1在点(2,号V3）处的切线方程例3.求椭圆916解：椭圆方程两边对x求导2x3+i.y'=0V39xx=2416 yx=2=3V3y=V3故切线方程为(x-2)V3x+4y-8/3=0即
例3. 求椭圆 在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 2 0 8 9 x + = y y y 3 2 2 3 x y = = 9 16 x y = − 3 2 2 3 x y = = 3 4 = − 故切线方程为 3 3 3 ( 2) 2 4 y x − = − − 即
练习设曲线C的方程为x2+y2=3xy,求过C上33点()的切线方程，并证明曲线C在该点的法.线通过原点。解方程两边对求导，3x2+3y2y'=3y+3xyy-x?=-1.罗-y-x33所求切线方程为y即x+y-3=0.X12233-即y=x,显然通过原点.法线方程为yx22
练习 3 3 3 , 3 3 ( , ) , 2 2 . C x y xy C C 设曲线 的方程为 + = 求过 上 点 的切线方程 并证明曲线 在该点的法 线通过原点 解 方程两边对x求导, 3x + 3 y y = 3 y + 3xy 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( y x y x y − − = = −1. 所求切线方程为 ) 2 3 ( 2 3 y − = − x − 即 x + y − 3 = 0. 2 3 2 3 法线方程为 y − = x − 即 y = x, 显然通过原点
例3 设 x4-xy+y4=1,求y"在点(0,1)处的值解方程两边对x求导得(1)4x3- y-xy'+4yy= 0代入x=0,J=1得yx=0y=l将方程(1)两边再对x求导得12x2-2y'-xy" +12y"(y')" + 4yy" = 01得』"代入x=0, y=1, yx=0x=016y=1J=1
例 3 1, (0,1) . 设 x4 − xy + y4 = 求y 在点 处的值 解 方程两边对x求导得 4 4 0 (1) 3 3 x y − xy + y y = 代入 x = 0, y = 1得 ; 41 1 0 = y=x y 将方程(1)两边再对x求导得 12 2 12 ( ) 4 0 2 2 2 3 x y − xy + y y + y y = 得41 1 0 = y=x 代入 x = 0, y = 1, y . 161 1 0 = − y=x y
一般地，求方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=y(x)的二阶导数y"时，方程两端对x求导后得方程G(x, y,y') = 0.继续对该方程两端求x的导数后，又得一方程H(x, y, y', y") = 0.解此方程并将v的表达式带入即可求出y"= y"(x,y).4sinyd'y例x-y+siny =(cosy-2)3=0dx2
2 2 1 d + sin = 0, = . 2 d y x y y x 例 − 3 4sin (cos 2) y y − ( , ) = 0 = ( ) ( , , ) = 0 ( , , , ) = 0 ( , ) F x y y y x y x G x y y x H x y y y y y = x y y 一般地，求方程 所确定的隐函 数 的二阶导数 时，方程两端对 求导 后得方程 . 继续对该方程两端求 的导数后，又得一方程 . 解此方程并将 的表达式带入即可求出
东2002年考研数学3分已知函数y=(x)由方程e+60y+02-1=0x= 0, y=0确定,则y"(0)9 -2解e'.y'+6y+6xy'+2x = 020 +60==-y'=06.0 +e0(2 + 60)(60+e°)-(20 + 60)(6+e0 . 0V"(6.0 +e0
? 2002年考研数学一, 3分 ( ) 6 1 0 2 y = y x e + xy + x − = 已知函数 由方程 y 则y (0) = 解 y e 确定, y + 6 y + 6xy + 2x = 0 y x e x y y + + = − 6 2 6 y = − (6 ) y (2 + 6 y ) x + e (6 e y ) y −(2x + 6 y) + 2 (6 ) y x + e 0 0 x = 0, 0 0 0 0 y = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y = 0 0 − 2