(2)v(5;,m)∈M=1M2 K心 作∑P(51,m7)Ax, y Q(i,mz)△y (3)记=max{M-1M的长度}, 1<i<n 如果无论对怎样的分划(41,m)在M1M1上怎样的取法 im∑P(51,mi)△Ax A->0 im∑Q(51,mi)Ay ->0 都存在,则称()为P(x,y)在L上对坐标x的曲线积分; 称(*)为Q(x,y)在L上对坐标y的曲线积分
(2) ( , ) , i i Mi−1Mi ( , ) , ( , ) ; 1 1 = = n i i i i n i i i i 作 P x Q y (3) max{ }, 1 1 记 i i的长度 i n M − M = ,( , ) , 如果无论对L怎样的分划 i i 在Mi−1Mi上怎样的取法 lim ( , ) (*) 1 0 → = n i P i i xi 都存在,则称(*)为P(x, y)在L上对坐标 x的曲线积分; lim ( , ) (**) 1 0 → = n i i i i Q y 称(**)为Q(x, y)在L上对坐标 y的曲线积分
也称为第二类曲线积分或Ⅱ型曲线积分! 记为∫P(x,y)=lim∑P(5,m)△x L ->0 ∫Q(x,y)d=lim∑Q(5,n) ->0 L 注意: (1)存在性:当P(x,y),Q(x,y)在光滑曲线弧L 上连续时,第二类曲线积分存在 (2)L P(x, y)dx+fex, y)dy=L, P(x, y)dx+@(x,y)dy (3)物理意义:变力沿曲线作功 K心
也称为第二类曲线积分或II型曲线积分! 记为 ( , ) lim ( , ) 1 0 → = = n i i i i L P x y dx P x ( , ) lim ( , ) 1 0 → = = n i i i i L Q x y dy Q y 注意: , . (1) : ( , ), ( , ) 上连续时 第二类曲线积分存在 存在性 当P x y Q x y 在光滑曲线弧L (2) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . + = + L L L P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy (3) 物理意义: 变力沿曲线作功
W=F ds 其中F=P+Q,d=d+dy (4)△x;,y是弧M1M在x,y轴上的投影可正可负 (5)对于空间有向曲线弧r有 fP(x,y, z)dx+O(, J, a)dy+R(x,3, z)dz 「P(xy)dx=im∑P(5,m,A i=1 「(x,ya)d=lm∑Q65,m,与 「R(xy=m∑RG,n5)△ K心
. = L W F ds F Pi Qj, ds dxi dyj. 其中 = + = + (4) , , , . xi yi是弧Mi−1Mi在x y轴上的投影 可正可负 (5) 对于空间有向曲线弧 有 ( , , ) ( , , ) ( , , ) . P x y z dx + Q x y z dy + R x y z dz ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i P x y z dx = P i x = → ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i Q x y z dy = Q y = → ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i R x y z dz = R z = →