Chapter 5( 3) 个高阶微 高阶线性微
Chapter 5(3) 可降阶的高阶微分方程 与高阶线性微分方程
教学要求 (1)会用降阶法解下列微分方程: y")=f(x),y"=f(x,y),y"=f(y,y) (2)理解线性微分方程解的性质及解的结构定理 K
教学要求 (1) 会用降阶法解下列微分方程： (2) 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理. ( ), ( , ), ( , ) ( ) y f x y f x y y f y y n = = =
f(x)型 二.y"=f(x,y)型 y"=f(y,y)型 四.二阶线性微分方程的概念 五.函数的线性相关性 六.二阶线性微分方程解的结构 七.n阶线性微分方程解的结构 八.变系数微分方程的常数变易法
一 . y (n) = f (x)型 二. y = f (x, y)型 三. y = f ( y, y)型 四. 二阶线性微分方程的概念 五. 函数的线性相关性 六. 二阶线性微分方程解的结构 七. n阶线性微分方程解的结构 八. 变系数微分方程的常数变易法
y)=f(x)型 解法: 连续积分n次得含有n个互相独立任意常数的通解. f(r) )=∫f(x)x+C1 y(n-z)=uf(x)dx+Cildx +C2 y=…∫f(x)x…ax+ r +...+ Cn-ix+Cn n
一 . y (n) = f (x)型 解法： 连续积分n次得含有n个互相独立任意常数的通解. ( ) ( ) y f x n = 1 ( 1) y f (x)dx C n = + − 1 2 ( 2) y [ f (x)dx C ]dx C n = + + − … n n n x C x C n C y f x dx dx + + + − = + − − 1 1 1 ( 1)! ( )
Example 1.求ym=x2+sinx的通解 Solution. y"=(x+sin x)dxs+U coSx+ 3 y'=∫(2-cosx+G1hts sin x+C1x+C2 12 ∫(;-sinx+C1x+C2) 5 即y=60 +c0sx+C1x2+C2x+C3为通解 K心
Example 1. sin . 求y = x 2 + x的通解 Solution. y = (x + sin x)dx 2 1 3 cos 3 x C x = − + = − x + C dx x y cos ) 3 ( 1 3 1 2 4 sin 12 x C x C x = − + + = − x + C x + C dx x y sin ) 12 ( 1 2 4 . 2 1 cos 60 2 3 2 1 5 即 x C x C x C 为通解 x y = + + + +