ut ed 第三节齐次方程 、齐次方程 二、可化为齐次方程的方程 、小结
第三节 齐次方程 一、齐次方程 二、可化为齐次方程的方程 三、小结
、齐次方程 定义形如,=f(·)的微分方程称为齐次方程 dx 解法作变量代换u y=ru, utx, L 代入原式 u+x f(u), du f(u)u 可分离变量的方程 上一页下一页现回
解法 , x y 作变量代换 u = 即 y = xu, , dx du u x dx dy 则 = + 代入原式 f (u), dx du u + x = . ( ) x f u u dx du − 即 = 可分离变量的方程 ( ) x y f dx dy 定义 形如 = 的微分方程称为齐次方程. 一、齐次方程
du 当fu)-l≠0时,得∫ f(u)-u Inc1 即x=c(),(g(a)=∫ f(u)-u 代入,—得通解x=Cex, 当彐m0,使∫(a0)-u0=0,则a=u是新方程的解, 代回原方程,得齐次方程的解y=x. 上一页下一页返回
当 f(u) − u 0时, ln , ( ) 1 C x f u u du = − 得 , (u) x Ce 即 = − （ = ） f u u du u ( ) ( ) 将 代入, x y u = , ( ) x y x Ce 得通解 = , 0 当 u ( ) 0, 0 0 使 f u − u = 则 是新方程的解, 0 u = u 代回原方程 , . 0 得齐次方程的解 y = u x
例1求解微分方程 (x2+2y2 dx-xydy=0 解方程化成 2+ lx x y 小y dh 则 =u+x L+x-=2u+ dx 上一页下一页返回
例 1 求解微分方程 2 0. 2 2 （x + y ）dx − xydy = x x y y dx dy 1 解 方程化成 = 2 + u, x y 令 = . dx dy u x dx dy 则 = + u u dx du u x 1 + = 2 +
L 分离变量 L 1+L 积分 In(1+u=Inx+-Inc 2 2 1+u=C 方程的通解为:x2+y2=Cx 上一页下一页返回
dx x du u u 1 1 2 = + 分离变量 u x lnC 2 1 ln(1 ) ln 2 1 2 积分 + = + 2 2 即 1 + u = Cx . 2 2 4 方程的通解为： x + y = Cx