ut ed 第二节可分离变量的徽分方程 、可分离变量的微分方程 典型例题 小结
第二节 可分离变量的微分方程 一、可分离变量的微分方程 二、典型例题 三、小结
可分离变量的微分方程 g(y)=∫(x)小可分离变量的微分方程 例如=2x2y→!y=2x2dx, 解法设函数g(y)和∫(x)是连续的 ∫g()=∫f(x)k=分离变量法 设函数G(y)和F(x)是依次为g(y)和∫(x)的原 函数,G(y)=F(x)+C 为微分方程的通解方程特征 上一页下一页返回
x y dx dy 2 例如 = 2 2 , 1 2 dy x dx y = 解法 设函数g( y)和 f (x)是连续的, 设函数G( y)和F(x)是依次为 g( y)和 f (x)的 原 函 数, G( y) = F( x) + C 为微分方程的通解方程特征. 分离变量法 g( y) = f (x)dy 可分离变量的微分方程. = g( y)dy f (x)dx 一、可分离变量的微分方程
二、典型例题 例1求解微分方程,=3x2y的通解 解分离变量如=3x2h, J 两端积分 3xdx Iny=x +C y=ce为所求通解 上一页下一页返回
例1 求解微分方程 . 2 3x y 的通解 dx dy = 解 分离变量 3 , 2 x dx y dy = 两端积分 3 , 2 = x dx y dy 1 3 ln y = x + C 为所求通解. 3 x y = ce 二、典型例题
例2求方程(+e)y'=e满足初始条 件y∽n=0的特解 解分离变量yy=,xdr 1+e 两端积分 y=In(1+e 2)+C 2 将yx=20=0代入上式得C=-m2 1+e y=2In 为所求的特解. 上一页下一页返回
解 件 的特解. 求方程 满足初始条 0 1 0 = + = x= x x y 例2 （ e ）yy e dx x e x e ydy + = 1 分离变量 两端积分 C x y = ln(1 + e ) + 2 2 1 0 ln 2 0 = = − = C x 将y 代入上式得 为所求的特解. 2 1 2ln 2 x e y + =
例3衰变问题放射性元素铀的衰变速度与未衰变原 子含量M成正比,已知M=0=M0,求衰变过程中铀 含量M(t)随时间t变化的规律 解衰变速度,由题设条件 dM dt dM aM(4>0衰变系数) ndt dM ∫-Ad,mM=-at+mnc,即M=ce a t M 代入M10=M得M 0 = ce MEM at 0 衰变规律 上一页下一页现回
例 3 衰变问题:放射性元素铀的衰变速度与未衰变原 子含量M 成正比,已 知 0 0 M t M = = ,求衰变过程中铀 含 量M(t)随时间t变化的规律. 解 , dt dM 衰变速度 由题设条件 = −M( 0衰变系数) dt dM dt M dM = − = − dt, M dM ln M = −t + lnc, , t M ce − 即 = , 0 0 M t M = 代入 = 0 0 得 M = ce = C, t M M e − = 0 衰变规律