北京交通大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第八章 二次型 8.2 二次型的标准形

例3求一个正交变换x=Py,把二次型 f=2x1x2+2x1x3-2x1x4-2x2x3 +2x2x4+2x3x4 化为标准形 解 011 10-11 二次型的矩阵为A= 1-101 1110 它的特征多项式为 上页

解例 3 . 2 2 2 2 2 2 , 2 4 3 4 1 2 1 3 1 4 2 3 化为标准形 求一个正交变换 把二次型 x x x x f x x x x x x x x x Py + + = + − − = 二次型的矩阵为 , 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1  − − − − A = 它的特征多项式为

1 1--11 A-ne= 1-1-1 计算特征多项式:把二,三四列都加到第一列上有 A-E=(-+1 -11 1-1-41 111元 把二,三,四行分别减去第一行,有 上页

. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1      − − − − − − − − A − E = 计算特征多项式:把二,三,四列都加到第一列上,有 , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1)      − − − − − − A − E = − + 把二,三,四行分别减去第一行,有

122 一 汪AE=(+10--1-2.2 0 0 20一 0 十 =(-+2~元-1 2 2-元-1 =(-2+1)(2+2-3)=(+3)(-1 王于是4的特征值为x1=-,12=13=1=1 王当A=时解方程(4+3E)x=0 上页

0 0 0 1 0 2 1 2 0 1 2 2 1 1 1 1 ( 1) − + − − − − − − − − = − +    A E  2 1 1 2 ( 1) 2 − − − − − − = − +    ( 1) ( 2 3) ( 3)( 1) . 2 2 3 = − +  +  − =  +  − 3, 1. 于是A的特征值为1 = − 2 = 3 = 4 = 3 , ( 3 ) 0, 当1 = − 时 解方程 A + E x =

得基础解系51 ,单位化即得2|-1 当2=13=4=时,解方程(4-E)x=0, 可得正交的基础解系 52 0/53 001 2 0 上页

, 1 1 1 1 1               − − 得基础解系 = . 1 1 1 1 2 1 1               − − 单位化即得 p = 1 , ( ) 0, 当2 = 3 = 4 = 时 解方程 A − E x = , 1 1 1 1 , 1 1 0 0 , 0 0 1 1 2 3 2             − − =             =              =   可得正交的基础解系

1/2 0 2 /2 0 l/2 单位化即得P2 0}131/2 1/2 0 1/2 1/2 于是正交变换为 1 1/21/201/2丫y1 1/21/20-1/2y2 1201/212‖y3 x)(1/201/2-12人y 且有 ∫=-3y1+y2+y3+y4 上页

单位化即得               − − =               =               = 1 2 1 2 1 2 1 2 , 1 2 1 2 0 0 , 0 0 1 2 1 2 2 3 4 p p p 于是正交变换为                             − − − − =               y y y y x x x x 4 3 2 1 4 3 2 1 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 3 . 2 4 2 3 2 2 2 1 且有 f = − y + y + y + y