第8章二次型 庄81三次型及其矩阵表示 王.3惯性定理和规范形 庄·84实二次型的正定性 85二次曲面的分类 ●总结习题课 上页
第8章 二次型 8.1 二次型及其矩阵表示 8.2 二次型的标准形 8.3 惯性定理和规范形 8.4 实二次型的正定性 8.5 二次曲面的分类 总结 习题课
注:本节的二次型都假定是实二次型。 庄8.4.1正定二次型 定义1设有实二次型∫(x)=xAx,如果对任何 王x≠都有/(x)>0显然0)=0则称/为正定二 次型,并称对称矩阵4是正定的如果对任何x≠0 牛都有()<0则称/乃为负定二次型并称对称矩阵 A是负定的 牛例如∫=x2+4y2+162为正定二次型 ∫=-x1-3x2 为负定二次型 王页下
2 2 2 f = x + 4 y + 16z 为正定二次型 2 2 2 f = −x1 − 3x 为负定二次型 8.4.1 正定二次型 ( ) ( ( ) ) . ( ) 0, , , ; 0 0, 0 0 0 , 1 ( ) , 是负定的 都 有 则 称 为负定二次型 并称对称矩阵 次 型 并称对称矩阵 是正定的 如果对任何 都 有 显 然 则 称 为正定二 定 义 设有实二次型 如果对任何 A f x f A x x f x f f f x x Ax T = = 例如 注：本节的二次型都假定是实二次型
定理1m元实二次型∫=x4x为正定的充分必要条件 为:它的标准形的n个系数全为正 王证明设可逆变换x=Q使 f(x)=f(y)=∑ky2 充分性 设k>0(=1,…,n)任给x≠0 则y=Cx≠0, 上故f(x)2=8n2>0 上页
证明 设可逆变换x = Cy使 ( ) ( ) . 2 1 i n i i f x f Cy k y = = = 充分性 k 0 (i 1, ,n). 设 i = 任给 x 0, y = C x 0, 则 -1 ( ) 0. 2 1 = = i n i i 故 f x k y 定理1 n元实二次型 为正定的充分必要条件 为：它的标准形的n个系数全为正。 T f x Ax =
必要性 假设有k,≤0,则当=e、(单位坐标向量时, f(Ce,)=k。≤0 显然Ce≠0,这与∫为正定相矛盾 故k1>0(i=1,…,n) 注:参考书中定理8-9,定理8-10。 推论对称矩阵A为正定的充分必要条件是:A 的特征值全为正 上页
必要性 0, 假设有ks 则当 (单位坐标向量)时, s y = e ( ) = 0. Ces ks f 0, 显然Ces 这与 f 为正定相矛盾. 故 k 0(i 1, ,n). i = 推论 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正． A A 注：参考书中定理8-9，定理8-10
推论1n元实二次型正定的充分必要条件是 它的规范形为 f=x1+z2+…+zn 推论2n元实二次型正定的充分必要条件是, 它的正惯性指数为n。 上页
推论1 n元实二次型正定的充分必要条件是， 它的规范形为 2 2 2 1 2 n f z z z = + + + 推论2 n元实二次型正定的充分必要条件是， 它的正惯性指数为n