生五小结 1.实二次型的化简问题,在理论和实际中 经常遇到,通过在二次型和对称矩阵之间建立 对应的关系,将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩陈,而这是已经解决了的问题,请 2.实二次型的化简,并不局限于使用正交 矩阵,根据二次型本身的特点,可以找到某种运 c算更快的可逆变换.下一节,我们将介绍另一种 方法—拉格朗日配方法 上页
五、小结 1. 实二次型的化简问题，在理论和实际中 经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一 一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请 同学们注意这种研究问题的思想方法． 2. 实二次型的化简，并不局限于使用正交 矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运 算更快的可逆变换．下一节，我们将介绍另一种 方法——拉格朗日配方法．
思考题 求一正交变换,将二次型 f( x1,x2,X3 51+5x2+3x2-2x1x2+6x1x3-6x2x3 化为标准型,并指出∫(x1,x2,x3)=1表示何种二次 曲面 上页
化为标准型，并指出 f (x1 , x2 , x3 ) = 1 表示何种二次 曲面. ( ) 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 1 2 3 5 5 3 2 6 6 , , x x x x x x x x x f x x x = + + − + − 求一正交变换，将二次型 思考题
思考题解答 5 13 解二次型的矩阵为4=-15-3, 3-33 可求得de(-AE)=-(-4)(-9), 于是A的特征值为九1=0,2=4,3=9, 对应特征向量为 1 P1=1,p2= 3 2 上页
思考题解答 , 3 3 3 1 5 3 5 1 3 − − − − 解 二次型的矩阵为A = 可求得det(A− E) = −( − 4)( − 9), 0, 4, 9, 于是A的特征值为1 = 2 = 3 = . 1 1 1 , 0 1 1 , 2 1 1 1 2 3 = − = − p = p p 对应特征向量为
王将其单位化得 1/√2 P1 q =16 q2 P=12 2/6 p2 0 1/√3 q3=13=|-1/3 3 1/3 上页
将其单位化得 , 2 6 1 6 1 6 1 1 1 − = = p p q , 0 1 2 1 2 2 2 2 = = p p q . 1 3 1 3 1 3 3 3 3 = = − p p q
故正交变换为 x1 6 1/√1 23 y x2 y 3 x3丿 62 20 6 /3 化二次型为=4y2+9y3 可知f(x1,x2,x3)=1表示椭圆柱面 上页
故正交变换为 , 3 1 0 6 2 3 1 2 1 6 1 3 1 2 1 6 1 3 2 1 3 2 1 − − = y y y x x x 4 9 . 2 3 2 2 化二次型为 f = y + y ( , , ) 1 . 可知f x1 x2 x3 = 表示椭圆柱面