王44矩阵的秩 44.1.行秩、列秩、矩阵的秩 把矩阵的每一行看成一个向量,则矩阵可被认为 由这些行向量组成(行向量组),把矩阵 的每一列看成一个向量,则矩阵可被认为由这些 列向量组成(列向量组)。 工工工 上页
4.4 矩阵的秩 4.4 .1. 行秩、列秩、矩阵的秩 把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为 由这些行向量组成（行向量组），把矩阵 的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些 列向量组成（列向量组）
定义4-13: 矩阵的行向量组的秩,就称为矩阵的行秩( ow ran) 矩阵的列向量组的秩,就称为矩阵的列秩( column rank) 1131 例如:矩阵A=02-14的行向量组是 0005 0000 1=(1,1,3,1 a2=(0,2,-1,4)=ky 上a3=(0,0,0,5)0)0)(00 牛a=(0,0,0,0 上页
例如：矩阵 1 1 3 1 0 2 1 4 0 0 0 5 0 0 0 0 A − = 的行向量组是 1 2 3 4 (1,1,3,1) (0,2, 1,4) (0,0,0,5) (0,0,0,0) = = − = = 定义4-13： 矩阵的行向量组的秩，就称为矩阵的行秩(row rank); 矩阵的列向量组的秩，就称为矩阵的列秩(column rank)。 1 2 3 4 1 1 3 1 0 2 1 4 , , , 0 0 0 5 0 0 0 0 − = = = =
可以证明,a12,C3是A的行向量组的一个极大无关组, 因为,由k1ax1+k2a2+k33=0 即k1(1,1,3,1)+k2(0,2,-1,4)+k3(0,0,0,5) =(k1,k1+2k2,3k1-k2,k1+4k2+5k3) =(0,0,0,0) 工工工 可知k1=k2=k2=0,即a1,a2,a3线性无关; 而4为零向量,包含零向量的向量组线性无关, 中∴a1,a2,a3,a4线性相关 所以向量组a12,C3O4的秩为3, 所以矩阵A的行秩为3。 上页
可以证明， 1 2 3 , , 是A的行向量组的一个极大无关组， 因为，由 1 1 2 2 3 3 k k k + + = 0 即 1 2 3 1 1 2 1 2 1 2 3 (1,1,3,1) (0,2, 1,4) (0,0,0,5) ( , 2 ,3 , 4 5 ) (0,0,0,0) k k k k k k k k k k k + − + = + − + + = 可知 1 2 3 k k k === 0, 即 1 2 3 , , 线性无关； 而 4 为零向量，包含零向量的向量组线性无关， 1 2 3 4 ,,, 线性相关。 所以向量组 1 2 3 4 ,,, 的秩为3， 所以矩阵A的行秩为3
矩阵A的列向量组是 3 B1= 000 2 月2 B3=。,B 0 0 5 可以验证B1,B2,4线性无关, 21-2B2+0月 而B3=B1 所以向量组B,B2月3,B4的一个极大无关组是B1,2,B4 所以向量组月1,B2,B3,月4的秩是3, 所以矩阵A的列秩是3 上页
矩阵A的列向量组是 1 2 3 4 1 1 3 1 0 2 1 4 , , , 0 0 0 5 0 0 0 0 − = = = = 可以验证 1 2 4 , , 线性无关， 而 3 1 2 4 7 1 0 2 2 = − + 所以向量组 1 2 3 4 ,,, 的一个极大无关组是 1 2 4 , , 所以向量组 1 2 3 4 ,,, 的秩是3， 所以矩阵A的列秩是3
问题:矩阵的行秩≠矩阵的列秩 定理4-14:矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。 (列) (列) 证:把A按行分块,设A=2 xn nxn (1)对换矩阵A的两行 、C A的行向量组所含向量未变,所以向量组的秩不变, 所以矩阵A的行秩不变 (2)用非零常数k乘以A的第i行 上页
问题：矩阵的行秩 ? ＝ 矩阵的列秩 定理4-14：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。 （列） （列） 证：把 A m n 按行分块，设 1 2 m n m A = （1）对换矩阵A的两行 A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变， 所以矩阵A的行秩不变。 （2）用非零常数k乘以A的第i行