用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 c1.将二次型表成矩阵形式/=x74x求出 2求出A的所有特征值λ,2,…,n; 3求出对应于特征值的特征向量1,2…,n; 4将特征向量51,.2,…,正交化,单位化得 71,m2,…,n,记C=(m 1572,9n 5作正交变换x=O,则得f标准形 f=A1y+…+nyn 上页
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 1. f x Ax, A; 将二次型表成矩阵形式 = T 求出 2. , , , ; 求出A的所有特征值1 2 n 3. , , , ; 求出对应于特征值的特征向量 1 2 n , , , , ( , , , ); 4. , , , , , 1 2 1 2 1 2 n n n C 记 = 将特征向量 正交化 单位化 得 . 5. , 2 2 1 1 n n f y y x Cy f = + + = 作正交变换 则得 的标准形
例2将二次型 f=17x2+14x2+14x3-4x1x2-4x1x3-8x2x3 通过正交变换x=P,化成标准形 解1.写出对应的二次型矩阵,并求其特征值 17-2-2 A=-214 2-414 17-4-2-2 A-BE=-214--4+(-18)(2-9) 2 -414-见 上页
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 − − − − − − = 2 4 14 2 14 4 17 2 2 A − − − − − − − − − − = 2 4 14 2 14 4 17 2 2 A E ( 18) ( 9) 2 = − − , . 17 14 14 4 4 8 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 通过正交变换 化成标准形 将二次型 x Py f x x x x x x x x x = = + + − − − 例2
王从而得特征值1=9,2=3=18 2.求特征向量 将1=9代入(4-E)x=0得基础解系 王“51=(12 王将42==18代入(4一B)x=0,得基础解系 52=(-2,1,0),3=(-2,0,1) 3.将特征向量正交化 工工工 取a1=51,a2=92,a3=5 2993 25 上得正交向量组 al. Cc ′25 2 a1=(1/2,1,)y,a2=(-2,1,0), ax3=(-2/5,-45,1) 上页
从而得特征值 9, 18. 1 = 2 = 3 = 将1 = 9代入(A − E)x = 0,得基础解系 2．求特征向量 将2 = 3 = 18代入(A− E)x = 0,得基础解系 ( 2,1,0) , 2 = − T ( 2,0,1) . 3 = − T 3．将特征向量正交化 , 1 1 取 = (1 2,1,1) . 1 T = , 2 = 2 , , , 2 2 2 2 3 3 3 = − 得正交向量组 ( 2 5, 4 5,1) . 3 = − − T ( 2,1,0) , 2 = − T 1 (1 2,1,1) , T =
4.将正交向量组单位化,得正交矩阵P 令 们=t (=1 3 2/5 2/45 得71 2/3,7 1√5n3=-4√45 2/3 0 5/45 1/3-2/5-2/45 所以P=2/31/5-4/45 2/305/45 上页
= , (i = 1,2,3), i i i 令 得 , 0 1 5 2 5 2 − , = 2 3 2 3 1 3 1 = . 5 45 4 45 2 45 3 − − = . 2 3 0 5 45 2 3 1 5 4 45 1 3 2 5 2 45 − − − 所以 P = 4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
于是所求正交变换为 x1(1/3-2/5 2/45Yy x2=2/31/5-445y2 x3)(2/305/45 且有∫=9y2+18y2+18y2 上页
于是所求正交变换为 , 2 3 0 5 45 2 3 1 5 4 45 1 3 2 5 2 45 3 2 1 3 2 1 − − − = y y y x x x 9 18 18 . 2 3 2 2 2 1 且有 f = y + y + y