王42线性相关性 王42.1线性相关,线性无关 定义4:给定向量组4:a1,a2,,an, 如果存在不全为零实数1,k2,…,k 使k1a1+k2a 2 ++k =0 王注称向量组线性相关否则称向量组线性无关 一个向量组a1,a,…an,或者线性相关 牛或者线性无关二者必居其一 几何意义:()两向量线性相关:两向量共线 (2)三向量线性相关:三向量共面 上页 圆
4.2 线性相关性 A , A . 0 , , , , : , , , , 1 1 2 2 1 2 1 2 称向量组 线性相关 否则称向量组 线性无关 使 如果存在不全为零实数 给定向量组 + + + m m = m m k k k k k k A 定义4： 或者线性无关二者必居其一。 一个向量组 ，或者线性相关 . , , , , 1 2 m 注 几何意义：(1)两向量线性相关：两向量共线. (2)三向量线性相关：三向量共面. 4.2.1 线性相关, 线性无关
解释Q)给定两个非零向量,a2 如果线性相关,则存在不全为零 的实数k,k2,使k1ax1+k2a2=0 不放设≠0,于是a=k2a 生这两个向量成比钢,几何上a,共线 (2)自己证明:三向量线性相关:三向量共面 工工 上页
这两个向量成比例，几何 上 ， 共线。 不放设 ，于是 的实数 使 如果线性相关，则存在不全为零 解释（）给定两个非零向量 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 0 , , 0 1 , k k k k k k k = − + = (2)自己证明 ：三向量线性相关：三向量共面
例1:用定义判断线性相关性 (1)向量O,a,B,y线性相关。 (2)向量a,a,B,y线性相关。 结论包含零向量的任何向量组一定线性相关。 至少有两个向量相同的任何向量线性相关。 任何一个非零向量一定线戋性无关 上页
例1：用定义判断线性相关性。 (1) 向量 o, , , 线性______关。 (2) 向量 , , , 线性______关。 相 相 任何一个非零向量一定线 性 至少有两个向量相同的任何向量线性相关。 结论 包含零向量的任何向量组一定线性相关。 无关
王42线性相关性的刻画 定理42向量组G1,a2,,Om(m≥2)线性相关 予少有一个向量可由其余m1个向量线性表示 证(必要性)设向量组n,a3,,an线性相关 王存在一组不全为零实数,k,…,k m 9 使k1a1+k2a2+…+knan=0 工工工 不放设k,≠0,于是 M-,a1一…、在 i+1 k n c由其余m-1个向量线性表示。 上页
4.2.1 线性相关性的刻画 至少有一个向量可由其余 m-1 个向量线性表示 定理4-2 向量组 1 , 2 , , m (m 2) 线性相关 0 , , , , , , , 1 1 2 2 1 2 1 2 + + + m m = m m k k k k k k 使 存在一组不全为零实数 证（必要性）设向量组 线性相关 由其余 个向量线性表示。 不放设 ，于是 m -1 k k k k k k k k k i m i m i i i i i i i i i = − −− − − + + − − 1 1 1 1 1 1 0
(充分性)设c由其余m-1个向量线性表示, 即a1=l1a1+…+la1+l1a1+…+Lnn A于是1a1+…+11+(-1)a1+lm1a1+…+Lan=0 于是向量C1,O2,…,Om(m≥2)线性相关 c推论:向量组a1a2,”,an(m≥2)线性无关 庄<个向量都不能由其余m个向量线性表示 王例2向量组a1,a2,…,am(m2)线性相关 手少有一个向量c1(1<ism)可由其前面 的向量线性表示 上页
i i i i i m m i l l l l m = 1 1 ++ −1 −1 + +1 +1 ++ -1 即 （充分性）设 由其余 个向量线性表示， 于 是l 1 1 ++ l i−1 i−1 + (−1) i + l i+1 i+1 ++ l m m = 0 于是向量 1 , 2 , , m (m 2) 线性相关 推论：向量组 1 , 2 , , m (m 2) 线性无关 任一个向量都不能由其余m-1 个向量线性表示 至少有一个向量 可由其前面 的向量线性表示 例2: 向量组 1 , 2 , , m (m 2) 线性相关 (1 i m) i