注意到3R,(x) = o[(x - xo)n]在不需要余项的精确表达式时，泰勒公式可写为J(x)= f(x0) + f'(x0)(x - xo) + f"(x0)x-x)+..2!Xo(x-xo)" + o[(x- xo)"]n!公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺（Peano）余项＊可以证明：f(x）在点xo有直到n阶的导数④式成立
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 . 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 f (x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) 2 0 0 ( ) 2 ! ( ) x x f x n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) [( ) ] 0 n o x x ( ) [( ) ] 0 n n 注意到 R x o x x ③ ④ * 可以证明: ④ 式成立
J(x) = f(x0) + f(xo)(x - xo) +f"(x0)(x - xo)? + ..2!f("(xo)(x - x0)"+ [((2)(x-x0)+n!(n+1)!（在xo与x之间）特例:拉格朗日中值定理(1)当n=0时,泰勒公式变为f(x)= f(xo) + f'(E)(x - Xo)（在x与x之间）(2)当n=1时,泰勒公式变为f"()Xo)f(x) = f(xo)+ f(xo)(x - xo)-+2!（在x与x之间）可见f(x)= f(xo)+ f(xo)(x-xo)dfR(x) = f"(E)误差(x-xo)2 (在xo与x之间)2！
特例: (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 f ( x) ( ) 0 f x ( ) ( ) 0 f x x (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 拉格朗日中值定理 f ( x) ( ) 0 f x ( ) ( ) 0 0 f x x x 2 0 ( ) 2 ! ( ) x x f 可见 误差f ( x) ( ) 0 f x ( ) ( ) 0 0 f x x x 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) n n x x n f 2 0 0 ( ) 2 ! ( ) x x f x n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) d f ) 0 ( 在 x 与 x 之 间) 0 ( 在 x 与 x 之 间 ) 0 ( 在 x 与 x 之 间 ) 0 ( 在 x 与 x 之 间