HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH利用对角矩阵计算矩阵多项式k个若A = PBP-l,则Ak-PBP-IPBP-1...PBP-PB P-- P B*P-1A的多项式P(A) = ao A" + aiA"-l +... + an-1A+ anE= ao P B" p-l + a, P B"-l p-1 + ..+ an--PB p-1 + an PE p-l= P(ao B" + aiB"-I +... + an-,B + anE) P-l= Pβ(B)P-l上页发回下页
利用对角矩阵计算矩阵多项式 , 1 A PB P − 若 = a PB P a PE P a P B P a P B P n n n n 1 1 1 1 1 1 1 0 − − − − − − + + = + + A = k A的多项式 A a A a A an A anE n n = + + + − + − 1 1 0 1 ( ) ( ) . 1 P B P− = . 1 P B Pk − = 则 P a B a B an B anE P n n 1 1 1 0 1 ( ) − − − = + ++ + PB P − 1 PBP−1 PBP−1 PBP−1 k个
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH特别地,若可逆矩阵P使 P-lAP= Λ为对角矩阵则Ak = PAkP-l,β(A) = P@(A) p-1对于对角矩阵人,有a2Ak二利用上九h述结论可以很方便地计p(ai)算矩阵A的p(a1)β(A) =多项式p(A)p(a))上页下页这回
, , 特别地 若可逆矩阵P使P −1 AP = 为对角矩阵 , 1 A P P k k − 则 = ( ) ( ) . 1 A P P − = 对于对角矩阵,有 , 2 1 = k n k k k , ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 = 利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 的 多项式 . (A)
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH定理设f(a)是矩阵A的特征多项式则f(A)=O证明只证明A与对角矩阵相似的情形若A与对角矩阵相似,则有可逆矩阵P,使p-1l AP = A = diag(ai,...,an),其中a,为A的特征值,f(a）= 0. 由A= PΛ p-1,有(f(a)p-f(A) = Pf(A)P-1 = Pf(an))= PO P-1 = O.上页发回下页
定理 设f ()是矩阵A的特征多项式,则f (A) = O. 证明 只证明A与对角矩阵相似的情形. 若A与对角矩阵相似,则有可逆矩阵P,使 ( , , ), 1 1 P AP = = diag n − , ( ) = 0. i i 其中 为A的特征值 f 由A = P P −1 ,有 f (A) . 1 = PO P = O − Pf P 1 ( ) − = P f f P n 1 1 ( ) ( ) − =
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH三、利用相似变换将方阵对角化对 n阶方阵 A,若可找到可逆矩阵 P,使P-1AP= Λ为对角阵,这就称为把方阵A对角化定理2n阶矩阵A与对角矩阵相似即A能对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量证明假设存在可逆阵P,使P-lAP=Λ为对角阵把 P用其列向量表示为P=(pi,P2,…",Pn）福回下页快
, . , , 1 为对角阵 这就称为把方阵 对角化 对 阶方阵 若可找到可逆矩阵 使 P AP A n A P = − 证明 , , 假设存在可逆阵P 使P −1AP = 为对角阵 ( , , , ) . 把 P 用其列向量表示为P = p1 p2 pn 三、利用相似变换将方阵对角化 . 2 ( ) 的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量 定 理 阶矩阵 与对角矩阵相似即 能对角化 A n n A A