共形映射 解析函数的导数的几何意义 设函数w=fz)在区域D内解析，z为D内的一点，且f(o)0. 又设C为z平面内通过点z的一条有向光滑曲线，它的参数 方程是： z=z(),a≤t≤b 它正向为参数增大的方向，且z0=z),z')0,a<。<b.则 映射w=fz)将C映射成w平面内通过点z象点wo=fz)的一条 有向光滑曲线了它的参数方程是 w=f[z(t)],a≤t≤b 正向相应于参数增大的方向. lexu@mail.xidian.edu.cn F&C 11
lexu@mail.xidian.edu.cn F&C 11 一、共形映射 解析函数的导数的几何意义 设函数w=f(z)在区域D内解析, z0为D内的一点, 且f ‘(z0)0. 又设C为z平面内通过点z0的一条有向光滑曲线, 它的参数 方程是: z = z (t), a t b 它正向为参数t增大的方向, 且z0=z(t0), z ’(t0)0, a <t0< b. 则 映射w=f(z)将C映射成w平面内通过点z0象点w0=f(z0)的一条 有向光滑曲线, 它的参数方程是 w = f [ z ( t ) ], a t b 正向相应于参数t增大的方向
一、 共形映射 Z平面 W平面 wo 根据复合函数求导法，有 w‘(t)=f’(亿o)z‘(t)≠0 因此，在T上点w处也有切线存在，且切线正向与轴正向的夹角是 Arg w '(to)=Argf '(o)+Arg z'(to) 即 Arg w'(to)-Argz'(to)=Argf'(zo) lexu@mail.xidian.edu.cn F&C 12
lexu@mail.xidian.edu.cn F&C 12 根据复合函数求导法, 有 w ‘(t0) = f ’(z0)z ‘(t0) 0 因此, 在上点w0处也有切线存在, 且切线正向与u轴正向的夹角是 Arg w ’(t0) = Arg f ‘(z0) + Arg z ’(t0) 即 Arg w '(t0) - Arg z '(t0) = Arg f '(z0) O u v W平面 w0 Q0 Q w O x y z0 P0 r z s P C Z平面 一、共形映射
共形映射 重合W平面及Z平面；Argw'(to)-Argz'(t)=Argf'(o) ?Zo映射成为Wo: 冬则原切线正向与映射后切线 (Z)≡(W) 正向之间的夹角可理解为曲 线C经过f(z)映射后在z处 的转动角，则上式表明： 1、导数fz)0的辐角Argf w0 20 (上)是曲线C经过w二()映射 后在么处的转动角： 2、转动角大小与方向跟曲线 C的形状与方向无关.所以这 种映射具有转动角的不变性 lexu@mail.xidian.edu.cn F&C 13
lexu@mail.xidian.edu.cn F&C 13 重合W平面及Z平面； Z0映射成为W0； 则原切线正向与映射后切线 正向之间的夹角可理解为曲 线C经过w=f(z)映射后在z0处 的转动角, 则上式表明: 1、导数f ‘(z0)0的辐角Arg f ’(z0)是曲线C经过w=f(z)映射 后在z 0处的转动角; 2、转动角大小与方向跟曲线 C的形状与方向无关. 所以这 种映射具有转动角的不变性. 一、共形映射 O z0 z C w0 (Z)≡(W) w Arg w '(t0) - Arg z '(t0) = Arg f '(z0)
一、共形映射 通过z点的可能的曲线有无限多条，其中的每一条都具有这样的性质， 即映射到w平面的曲线在w点都转动了一个角度Argf'(o): lexu@mail.xidian.edu.cn F&C 14
lexu@mail.xidian.edu.cn F&C 14 通过z0点的可能的曲线有无限多条, 其中的每一条都具有这样的性质, 即映射到w平面的曲线在w0点都转动了一个角度Arg f '(z0). O x y O u (z) v (w) z0 w0 一、共形映射
一、 共形映射 (w) C1:z=z1(t) W=f(z) 「1：w=W1(t) C2:z=z2(t) 「2：w=w2(t) Z0=z1(t1)=z2(t2) Wo=f(Zo) Arg w1'(t1)-Arg z1'(t1)=Arg f'(Zo) Arg w2'(t2)-Arg z2'(t2)=Arg f'(Zo) [Arg w2'(t2)-Arg w1'(t1)]=[Arg z2'(t2)-Arg z1'(t1)] lexu@mail.xidian.edu.cn 。。。。 F&C ●1 15
lexu@mail.xidian.edu.cn F&C 15 y v O x O u (z) (w) z0 w0 C1 C2 1 2 一、共形映射 C1 : z = z1 (t) C2 : z = z2 (t) Z0=z1 (t1)=z2 (t2) Γ1 : w = w1 (t) Γ2 : w = w2 (t) W0=f(Z0) W=f (z ) Arg w1 '(t1) - Arg z1 '(t1) = Arg f '(Z0) Arg w2 '(t2) - Arg z2 '(t2) = Arg f '(Z0) [Arg w2 '(t2) - Arg w1 '(t1)] = [Arg z2 '(t2) - Arg z1 '(t1)] =