西安电子科技大学：《复变函数与场论》课程教学课件（讲义，2017）第22讲 留数在积分中的应用及复习

留数在定积分中的应用（Ⅱ） [R(x)e“dk=2πi∑Res[R(e)e,a4] Rx)coaxd=Re[2πi∑Res[R(e)e,J] ∫R(x)sin axd=Im[2πi∑Res[R(e)e,a] Note:z为R(z)位于上半平面的极点 lexu@mail.xidian.edu.cn F&C 11

lexu@mail.xidian.edu.cn F & C 11 留数在定积分中的应用（II） Note：zk为R(z)位于上半平面的极点 ( ) 2 Re [ ( ) , ] aix aiz R x e dx i s R z e z  k      Re 2 Re [ ( ) , ] aiz k  i sRze z     R x axdx ( )cos    Im 2 Re [ ( ) , ] aiz k  i sRze z     R( )sin x axdx   

留数在定积分中的应用（Ⅱ） 例2计算积分。+ xsIn _dx [解]显然， ·=1,满足>0 R()=,3 22+a ·Rx)是x的有理函数 z=±ai ·n=2,n=1,m-=1 z=ai>0 ·R(z)在实轴上没有孤立奇点I=2πiRes[R(z)e,ai] Res[R(=)e,ai]=lim(z-ai)- =lim ea +a2 :→mz+ai 2 o xsInx re-a dx= Jo x2+a2 2 I=πiea lexu@mail.xidian.edu.cn F&C ··。12

lexu@mail.xidian.edu.cn F & C 12 留数在定积分中的应用（II） 例2 计算积分  [解]显然， • a=1，满足a>0 • R(x)是x的有理函数 • m=2，n=1，m-n=1 • R(z)在实轴上没有孤立奇点 2 2 0 x sin x dx x a    2 2 ( ) z R z z a   z ai   z  ai  0 2 Re [ ( ) , ] iz I  i s R z e ai 2 2 Re [ ( ) , ] lim( ) lim 2 iz iz a iz z ai z ai ze ze e s R z e ai z ai z a z ai         a I ie   0 2 2  sin 2 a xx e dx x a      