西安电子科技大学：《复变函数与场论》课程教学课件（讲义，2017）第22讲 留数在积分中的应用及复习

留数在定积分中的应用（Ⅱ） R(z）= z”+az"+…+a -,m-n≥2 zm+bzm-+…+b 。2 C为以原点为圆心，R为半径的上半平面半圆周 ”R足够大，使得C包含上半平面所有极点z R(z)d=2πi∑Res[f(z),zk] lexu@mail.xidian.edu.cn F&C 6

lexu@mail.xidian.edu.cn F & C 6 留数在定积分中的应用（II）  CR为以原点为圆心，R为半径的上半平面半圆周  R足够大，使得CR包含上半平面所有极点zk 1 1 1 1 () , 2 n n n m m m z az a Rz m n z bz b            y x z1 z2 zk CR ( ) ( ) 2 Re [ ( ), ] R R k R C R x dx R z dz i s f z z      

留数在定积分中的应用（Ⅱ） R( 11+a2+…+an2"1l+laz+…+a2 zm-"11+bz1+…+bnzm|1zm-"1-1bz1+…+bn2m 2 当足够大时 1bz+…+bn2m11 R()k- 1az+…+a,z"|10 在R足够大的CR上 机edRe杰≤是R- R mJ。R(e)d=0 R(x)dk=2πi∑ResLf(=,)zJ 若R(x)为偶函数 ∫Rx)k=πi∑Refe),] lexu@mail.xidian.edu.cn F&C

lexu@mail.xidian.edu.cn F & C 7 留数在定积分中的应用（II） 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 |1 | 1 | | | ( )| || |1 | || 1 | | n n n n mn m mn m m m az az az az R z z bz b z z bz b z                      1 1 1 1 | | 1 | | 10 m m n n bz b z az az            当|z|足够大时 2 2 | ( )| | | R z z  在R足够大的CR上 2 2 2 () () C C R R R z dz R z ds R R R      lim ( ) 0 R CR R z dz    ( ) 2 Re [ ( ), ] R x dx i s f z z  k      0 ( ) Re [ ( ), ] R x dx i s f z z  k  若R(x)为偶函数   

留数在定积分中的应用 (Ⅱ) 例1计算积分：I=二+X+ba>0,b>0 x'dx ·[解1易验证： a b ·积分函数是x的有理函数I=2πi 2i(a2-b2)2ib2-a2) ·t=4,n=2,m-=2 ·函数的奇点为士ai,士bi,不在实轴上 、 a+b ·利用积分类型Ⅱ采用留数求解，显然，在上半平面仅有 一级极点i,bi,且它们的留数为： ReR().a 2i(a2-b2) -b2 Res[R()im[()R()=2bi() lexu@mail.xidian.edu.cn F&C 8

lexu@mail.xidian.edu.cn F & C 8 留数在定积分中的应用（II） 例1 计算积分：  [解]易验证： • 积分函数是x的有理函数 • m=4，n=2，m-n=2 • 函数的奇点为±ai，±bi，不在实轴上  利用积分类型II采用留数求解，显然，在上半平面仅有 一级极点ai,bi，且它们的留数为： 2 2 22 2 ( 0, 0) ( )( ) x dx I ab x axb          2 22 22 Re [ ( ), ] lim ( ) ( ) 2 ( ) 2( ) z ai a a s R z ai z ai R z  ai b a i a b         2 22 22 Re [ ( ), ] lim ( ) ( ) 2 ( ) 2( ) z ai b b s R z bi z bi R z  bi a b i b a       22 22 2 2( ) 2( ) a b I i ia b ib a a b              

留数在定积分中的应用（Ⅱ） 冬积分类型Ⅱ： Rx)emd(a>0) ·R(x)是x的有理函数 ■分母的次数至少比分子的次数高一次 ■在实轴上没有孤立奇点 ·同样，不失一般性，设 R(z)= 2”+a2++a,m-n2l z"+b2m-1+…+bn lexu@mail.xidian.edu.cn ●●●● F&C

lexu@mail.xidian.edu.cn F & C 9 留数在定积分中的应用（II） 积分类型 III：  R(x)是x的有理函数  分母的次数至少比分子的次数高一次  在实轴上没有孤立奇点  同样，不失一般性，设 ( ) ( 0) aix R x e dx a     1 1 1 1 () , 1 n n n m m m z az a Rz m n z bz b           

留数在定积分中的应用（Ⅱ） 1R(z)月 1_1+a2+…+a,2"11+la2+…+a,2 |zm-"11+bz+…+bnzm1|zm-"1-1bz+…+bnm2m 当足够大时 6++bl< 1a21+…+a,2"110 IRK 2 在R足够大的C。上Ree“s,Rele本≤是Leh y=20 2ed0=4e0s4ed0-2l-e) v=sin inR(E)e"d0 lexu@mail.xidian.edu.cn F&C ··10

lexu@mail.xidian.edu.cn F & C 10 留数在定积分中的应用（II） 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 |1 | 1 | | | ( )| || |1 | || 1 | | n n n n mn m mn m m m az az az az R z z bz b z z bz b z                      1 1 1 1 | | 1 | | 10 m m n n bz b z az az            当|z|足够大时 2 | ( )| | | R z z  在R足够大的CR上 2 () () RR R aiz aiz ay CC C R z e dz R z e ds e ds R      lim ( ) 0 R aiz R C R z e dz    sin sin 2 0 0 2 4 aR aR ed ed            x y 2  y=sinθ 2 y    2 2 0 2 4 (1 ) aR aR ed e aR         