定理2（极值第二判别法）设函数f(x）在点xo处具有二阶导数，且f'(xo)=0,f"(xo)≠0()若f"(xo）<0,则f(x）在点xo取极大值；(2)若f"(xo)>0,则f(x)在点xo取极小值I'(x)-I'(x0) = lim I(x)证:(1) f"(xo)= lim X→XOX-Xox→Xo X-Xof'(x)由f"(xo)<0知,存在>0,当0<|x-xol<8时0X-Xo故当xo-<x<xo时,f(x)>0;当xo<x<xo +时,f'(x)<0,XoSXo X+S由第一判别法知f(x）在xo取极大值(2）类似可证
定理2 (极值第二判别法) 二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . 证: (1) ( ) 0 f x 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x 0 ( ) lim 0 x x f x x x ( ) 0 , 由 f x0 知 存在 0 , 0 , 当 x x0 时 故 当 x0 x x0时 ，f ( x) 0; 当x0 x x0 时 ，f ( x) 0 , 0 x 0 x0 x 由第一判别法知 ( ) . f x 在 x0 取极大值 (2) 类似可证
例2.求函数 f(x)=(x2-1)3+1的极值解：1）求导数f'(x) = 6x(x2 -1)2, -f"(x)= 6(x2 - 1)(5x2 -1)2)求驻点令f(x)=0，得驻点 xj =-1,x2=0,X =13)判别因f"(0)=6>0，故f(0)=0为极小值；又f"(-1)=f"(1)=0,故需用第一判别法判别由于f(x)在x=±1左右邻域内不变号.f(x）在x=±1没有极值01 x
例2. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 ( ) 6 ( 1) , 2 2 f x x x ( ) 6 ( 1) (5 1) 2 2 f x x x 2) 求驻点 令 f ( x) 0 , 得驻点 1, 0 , 1 x1 x2 x3 3) 判别 因 f (0) 6 0 , 故 为极小值 ; 又 f (1) f (1) 0 , 故需用第一判别法判别. 1 x y 1 O