第十三章函数列及函数项级数 an+4(x)1∠1,(n,p=1,2,…,于是Ve>0,取N=[],则 当n>N时,对一切x∈[0,1]和一切自然数p,都有 unx+k(x)<∈故所给级数在[0,1]上一致收敛 假设∑u(x)在[0,1]上存在优级数∑Mn,取x=1 Mn≥1un2(x)|=un() 0 由∑Mn收敛得知∑收敛,这与∑发散矛盾故∑an(x) 不存在优级数 8.讨论下列函数列或函数项级数在所示区间D上的敛散性 (1) (2)∑2"sin2n,D=(0,+∞) (3)∑ [+(n-1)x2](1+nx,D=(0,+∞) ∑F,D=[-1,0 2n+1 (5)∑(-1) (6)∑,D=(0,2x); 解(1)因|Sn+(x)-S()/=/貿 4=n41(x2+k2)[ +(k-1 2n+1x2+k2x2+(k-1)2 p 所以,Ⅴe>0,取N=[1]+1,当n>N时,对一切x∈[-1,1]和 E 322
§1一致收敛性 一切自然数p,都有Sn+p(x)-Sn(x)|< 故所给级数在[-1,1]上一致收敛 (2)对任意自然数n取xn=y·3”∈(0,+∞),有 2 I sin|=2x0(n→∞) 所以∑2sin在(0,+∞)内不一致收敛 (3)因为 H11+(k-1)x21+k2 1+n n 。1Sn(x)-11≥ 因此所给级数在(0,+∞)内不一致收敛 (4)记un(x)=(-1),(x)=(=x)”,则 ∑a4(x)≤1,x∈[-1,0],对每一个x∈[-1,01,{vn(x)单调 递减,且(x2|≤1 →0(n→∞),即vn(x)→0( x∈[-1,0]由狄利克雷判别法知∑在[-1,0]上一致收敛 (5)记un(x)=(-1)n,vn(x)= 与(4)类似可得 在(-1,1)上一致收敛 (6)取0=3sn2,对任意自然数N存在n=N,p=N+1 ∈[0,2]使