4.其他表示 (1)作变量代换x=cos2g,得到 B(P,q)=2cos2p-lpsin2g-lpdp 由此可以得到 B 22
4．其他表示： （ 1）作变量代换 ϕ 2 x = cos ，得到 π 2 21 21 0 B( , ) 2 cos sin d p q p q ϕ ϕ ϕ − − = ∫ 。 由此可以得到 1 1 B , π 2 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠
(2)作变量代换x= 得到 1+ ∞ B(P, q 0(1+1)yq= 0(1+t) (1+t) 在最后一个积分中再作变量代换r=1,得到 dt (1+t) (1+u)P+q 于是 B(pa1P+dt(=B))。 0(1+)+9
（ 2）作变量代换 t x + = 1 1 ，得到 1 0 B( , ) d (1 ) q p q t p q t t − +∞ + = + ∫ 1 1 1 0 1 d d (1 ) (1 ) q q p q p q t t t t t t − − +∞ + + = + + + ∫ ∫ 。 在最后一个积分中再作变量代换 u t 1 = ，得到 1 1 1 1 0 d d (1 ) (1 ) q p p q p q t u t u t u − − +∞ + + = + + ∫ ∫ ， 于是 1 1 1 0 B( , ) d (1 ) p q p q t t p q t t − − + + = + ∫ （ = B( , ) q p ）
Gamma函数 形如 r(s) x-e dx 的含参变量积分称为 Gamma函数,或第二类 Euler积分。 先讨论它的定义域。将 Gamma函数写成 [(s)=x-e"dx+"e""dx 由反常积分的收敛判别法,当s≤0时,右边第一个反常积分发散, 而当s>0时,两个反常积分都收敛,因此 Gamma函数r(s)的定 义域为(0,+∞)
Gamma 函数 形如 1 0 () e d s x sxx +∞ − − Γ = ∫ 的含参变量积分称为 Gamma 函数，或第二类 Euler 积分。 先讨论它的定义域。将 Gamma 函数写成 1 1 1 0 1 () e d e d sx sx sx x x x +∞ − − − − Γ= + ∫ ∫ ， 由反常积分的收敛判别法，当s ≤ 0时，右边第一个反常积分发散， 而当s > 0时，两个反常积分都收敛，因此 Gamma 函数Γ s)( 的定 义域为 +∞),0(
Gamma函数的性质 .连续性与可导性:I(s)在(0+∞)上连续且可导 证对于任意闭区间ab]c(0+∞),当s∈[ab]时成立 x e 2,x∈(0,1 而∫xcd收敛,由 Weierstrass #]别法,J,x-'cd关于s在a上 致收敛。又由于当se[a,b时成立 xe-sx"e,x∈[,+∞), 而∫,xcd收敛,由 Weierstra9y别法,J,xdx关于s在ab上 致收敛。 于是rs)=」x-edx关于s在a上一致收敛,从而r(s)在a 上连续。由区间[ab的任意性,可知r(s)在(0+∞)上连续
Gamma 函数的性质 1．连续性与可导性：Γ s)( 在 +∞),0( 上连续且可导。 证 对于任意闭区间 ba +∞⊂ ),0(],[ ，当 ∈ bas ],[ 时成立 xaxs xx −− −− ≤ ee1 1 ，x ∈ ]1,0( ， 而 1 1 0 e d a x x x − − ∫ 收敛，由 Weierstrass 判别法， 1 1 0 e d s x x x − − ∫ 关于s在 ba ],[ 上 一致收敛。又由于当 ∈ bas ],[ 时成立 xbxs xx −− −− ≤ ee1 1 ，x +∞∈ ),1[ ， 而 1 1 e d b x x x +∞ − − ∫ 收敛，由 Weierstrass 判别法， 1 1 e d s x x x +∞ − − ∫ 关于s在 ba ],[ 上 一致收敛。 于是 1 0 () e d s x sxx +∞ − − Γ = ∫ 关于s 在 ba ],[ 上一致收敛，从而Γ s)( 在 ba ],[ 上连续。由区间 ba ],[ 的任意性，可知Γ s)( 在 +∞),0( 上连续