解析微分方程初值问题解析解的存在性 注：由于初始条件总可以通过变换转化到方程中，不失一般性我 们只考虑解析微分方程从坐标原点出发的解， 定理26 设f(x,y),i=1,,n,在D内可展成收敛的幂级数.则初值问题 =f(x,y),0)=0.i=1,,n (3) 在(0,0)的某邻域内有唯一的收敛的幂级数解，其中0表示n维 零向量 注： D:={(x,y:x-0l≤a,-0l≤B,i=1,,m}C2, 张样：上将交通大学数学系第十三讲、解斯微分方程的解析解
)¤á©êß–äØK)¤)35 5µ du–©^áo屜LCÜ=zêß•, ÿîòÑ5· Çêƒ)¤á©êßlãI:—u). ½n 26 fi(x,y), i = 1,...,n, 3 D Så–§¬Òò?Í. K–äØK y˙i = fi(x,y), yi(0) = 0, i = 1,...,n, (3) 3 (0,0) ,çSkçò¬Òò?Í), Ÿ• 0 L´ n ë "ï˛. 5µ D := {(x,y); |x−0| ≤ α,|yi −0| ≤ β,i = 1,...,n} ⊂ Ω, ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õn˘!)¤á©êß)¤)
在证明定理之前先看一个例子： 微分方程初值 =ax2+tan(x2+y+y), y1(0)=0, 2=sin(1+xy1y2), y2(0)=0 的解 。是否存在唯一？ ·存在区间是多少？ 。光滑性如何？ 。是否可以展开成收敛的幂级数？ 张样：上涛交通大学数学系 第十三讲、解析微分方程的解折解
3y²½nÉckwòá~fµ á©êß–ä y˙1 = ax2 +tan(x 2 +y 2 1 +y 2 2 ), y1(0) = 0, y˙2 = sin(1+xy1y2), y2(0) = 0 ) ¥ƒ3çòº 3´m¥ıº 1w5X¤º ¥ƒå±–m§¬Òò?ͺ ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õn˘!)¤á©êß)¤)