北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第五章 二次型（5.2）标准形

x1=y1-y3 十 再令 或了y2 x3=y3 y3=3 VI 即,y2 100 则f(x1,x2,,xn)=2x2-2x2-2x32+823 =222k2a)2+8 2 2x2-2(x2-2z3)2+6z 最后令w2=2-23或{2=w2+23 §2标准形

§2 标准形 2 2 2 1 2 3 3 = − − + 2 2( 2 ) 6 z z z z 2 2 2 2 1 2 3 3 3 = − − + − 2 2( 2 ) 8 2 z z z z z 或 1 1 2 2 3 3 3 2 z w z w w z w  =   = +  =  最后令 1 1 2 2 3 3 3 2 w z w z z w z  =   = −  =  则 222 1 2 1 2 3 2 3 ( , , , ) 2 2 2 8 n f x x x z z z z z = − − + 1 1 2 2 3 3 1 0 1 0 1 0 0 0 1 y z y z y z           =               即, 或 1 1 3 2 2 3 3 y z z y z y z  = +   =  =  再令 1 1 3 2 2 3 3 z y y z y z y  = −   =  = 

则f(x,x2,x3)=2M2-22+62 所作的非退化线性替换是 10Y101 1-10‖y2 10‖010‖z2, 110/101Y100(w1)(113 1-101010‖012 1-1‖w 00 001八001 001 x1=1+v2+33 即 §2标准形

§2 标准形 所作的非退化线性替换是 即 1 1 2 3 2 1 2 3 3 3 x w w w3 x w w w x w  = + +   = − −  =  1 2 3 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 w w w      = −                1 2 3 1 1 3 1 1 1 0 0 1 w w w    = − −          1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 x y z x y z x y z                  = − = −                            222 1 2 3 1 2 3 则 f x x x w w w ( , , ) 2 2 6 = − +

3、(定理2)数域P上任一对称矩阵合同于 一个对角矩阵 即ⅤA∈P,若A=A,则存在可逆矩阵C∈Pn 使CAC为对角矩阵 证:由定理1可得 §2标准形

§2 标准形 3、（定理2）数域P上任一对称矩阵合同于 证：由定理1可得. 使C´AC为对角矩阵． 即  A Pn n , 若 A´ ＝A ，则存在可逆矩阵 n n C P   一个对角矩阵