§5.1大数定律 上述定理中要求随机变量X1,X2,.的方差存在. 但这些随机变量服从相同分布的场合，并不需要这 一要求，我们有以下的定理 弱大数定理（辛软定理） 设随机变量X1,X2,.,X.相互独立，服从同一 分布，且具有数学期望E(X)=u(k=1,2,.),则对于任 意正数6，有 mi-ace-1 即序列=1X依概率收敛于山，灭”→4 11/41
11/41 上述定理中要求随机变量X1 ,X2 ,.的方差存在. 但这些随机变量服从相同分布的场合, 并不需要这 一要求, 我们有以下的定理. 1 1 lim 1 m n k k n X n P n k Xk n X 1 1 弱大数定理(辛钦定理) 设随机变量X1 ,X2 ,.,Xn ,.相互独立, 服从同一 分布, 且具有数学期望E(Xk )=μ (k=1,2,.), 则对于任 意正数, 有 §5.1 大数定律 即序列 依概率收敛于μ， m P X
§5.1大数定律 伯努利大数定理（辛软定理的推论） 设n是n次独立重复试验中事件A发生的次数， 卫是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正 数它0，有 四供小小-1或▣P”-0 证因为n4cb(,p),且根据第四章中随机变量分解的思 想，有n4=X1+X2++Xm,其中，X1,X2,X,m相互独立， 且都服从以p为参数的(0-1)分布， X-1在第次实验中事件发生 0,在第次实验中事件不发生 12/41
12/41 伯努利大数定理(辛钦定理的推论) 设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数. p是事件A在每次试验中发生的概率, 则对于任意正 数>0, 有 lim 1 p n n P A n 或 lim 0 p n n P A n §5.1 大数定律 证 因为nA~b(n,p), 且根据第四章中随机变量分解的思 想, 有 nA =X1+X2+.+Xn , 其中, X1 ,X2 ,.,Xn相互独立, 且都服从以p为参数的(0-1)分布， Xi = ，在 第 次实验中事件 不发生 在 第 次实验中事件 发 生 A A 0 i 1, i
§5.1大数定律 因而E(X)=p,D(X)=p(1-p)(k=1,2,1M),由定理一得 i(X+x++x)-pl, 即 伯努利大数定理表明，事件发生的频率n4/n依概率收敛 于事件的概率，以严格的数学形式表达了频率的稳定性和概 率的合理性 近似：当n很大时，事件发生的频率n4/n与概率有较大偏差的 可能性很小，因此由实际推断原理，由于小概率事件几乎不 发生，当试验次数很大时，可以用事件的频率来代替事件的 概率 13/41
13/41 lim 1. ( ) 1, 1 lim 1 2 p n n P X X X p n P A n n n 即 §5.1 大数定律 因而E(Xk )=p, D(Xk )=p(1-p) (k=1,2,.,n)，由定理一得 伯努利大数定理表明，事件发生的频率nA /n依概率收敛 于事件的概率p，以严格的数学形式表达了频率的稳定性和概 率的合理性 近似：当n很大时，事件发生的频率nA /n与概率有较大偏差的 可能性很小，因此由实际推断原理，由于小概率事件几乎不 发生，当试验次数很大时，可以用事件的频率来代替事件的 概率
§5.1大数定律 处理 问题 定理 内容 定理条件 区别 算 契比雪 方差和 夫定理 8P→4 X1,X2,.,X,.相互独立， 期望存 频率 均 特例 有相同的数学期望和方差 在，同 大数定律 和算 值 分布 术 值 X1,X2,.,Xa,.相互独立 方差不必 辛饮定 理 ㄡP→4 ，服从同一分布，有相同 存在， 的稳 性 期望 同分布 定性 弱大 n重伯努利试验 数定 率 伯努利 X1,X2,.,Xm表示每次试验 辛钦定 律 大数定 nAP→p A是否发生，且相互独立 理的特 律 ,服从同一0一1)分布，p 例 性 为事件A每次试验的概率 14/41
14/41 §5.1 大数定律 大 数 定 律 处理 问题 频率 和算 术平 均值 的稳 定性 定理 弱大 数定 律 契比雪 夫定理 特例 辛钦定 理 伯努利 大数定 律 算 术 均 值 稳 定 性 频 率 稳 定 性 内容m P X p n nA P m P X X1,X2,.,Xn,.相互独立， 有相同的数学期望和方差 定理条件 X1,X2,.,Xn,.相互独立 ，服从同一分布，有相同 期望 n重伯努利试验 X1,X2,.,Xn表示每次试验 A是否发生，且相互独立 ，服从同一(0－1)分布，p 为事件A每次试验的概率 区别 方差和 期望存 在，同 分布 方差不必 存在， 同分布 辛钦定 理的特 例