例6设y=x0(a∈R),求y( 解y=ax (axa)’=a(a-1)x ,"=(a( 1)x 2 )=a(a-1)(α-2)x c-3 y(n)=a(a-1)…(a-n+1)x=n(n≥1) 若a为自然数n,则 (x")=n!,y(+)=(n!)’=0
例 6 ( ), . (n) 设 y = x R 求y 解 −1 y = x( ) 1 = − y x 2 ( 1) − = − x 3 ( 1)( 2) − ( ( 1) ) = − − x 2 = − − y x ( 1) ( 1) ( 1) ( ) = − − + − y n x n n n 若为自然数n,则 ( ) ( ) ( ) n n n y = x = n!, ( !) ( 1) = + y n n = 0
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并 分析结果的规律性,写出m阶导数,数学归纳法证明) 例7设y=ln(1+x),求y( 解y 1+x (1+x) 3! 1+x) (1+x) n yn=(-1) (n≥1,0!=1) 1+x)
例7 ln(1 ), . (n) 设 y = + x 求y 解 注意: x y + = 1 1 2 (1 ) 1 x y + = − 3 (1 ) 2! x y + = 4 (4) (1 ) 3! x y + = − ( 1, 0! 1) (1 ) ( 1)! ( 1) ( ) 1 = + − = − − n x n y n n n 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)
例8设y=sinx,求ym) 解卩=c0sx=sin(x+ 2 y cos(x+=sin(x 2,)=sin(x+2.2 y"=c0s(x+2·)=sin(x+3.“ T =sin(x+n. 2 同理可得()(m)=c0x+B.个 2
例8 sin , . (n) 设 y = x 求y 解 y = cos x ) 2 sin( = x + ) 2 cos( y = x + ) 2 2 sin( + = x + ) 2 sin( 2 = x + ) 2 cos( 2 y = x + ) 2 sin( 3 = x + ) 2 sin( ( ) y = x + n n ) 2 (cos ) cos( ( ) x = x + n n 同理可得