1.向量组的一个基本性质 向量组的秩 2.极大线性无关组 1.向量组的一个基本性质 3.向量组的秩 4.向量空间的基和维数 定理:设a1,a2…,,与B1,B2,…,B1是两个向量组,如果 (1)向量组a1,2,…,可以由向量组1,A2…,月线性表示 (2)S>t 则向量组a1,C2,…,C、必线性相关。 推论1:如果向量组C1,2,…可以由向量组1,A2…,B 线性表示,并且a1,2,…,a,线性无关,那么S≤t 推论2:两个线性无关的等价的向量组,必包含相同个数的向量
1 三. 向量组的秩 1. 向量组的一个基本性质 2. 极大线性无关组 3. 向量组的秩 4. 向量空间的基和维数 1. 向量组的一个基本性质 定理：设 1 2 , , , s 与 1 2 , , , t 是两个向量组，如果 (2) s t 则向量组 1 2 , , , s 必线性相关。 推论1：如果向量组 可以由向量组 1 2 , , , t 线性表示，并且 1 2 , , , s 1 2 , , , s 线性无关，那么 s t 推论2：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。 1 2 , , , (1) 向量组 s 1 2 , , , 可以由向量组 t 线性表示；
2.极大线性无关组 定文1:对向量组A,如果在A中有r个向量ax1a2,…,a1 满足: (1)A:a1,O2,…,C线性无关。 (2)任意r+1个向量都线性相关。(如果有的话) 那么称部分组A为向量组A的一个极大线性无关组。 简称极大无关组 注:(1)只含零向量的向量组没有极大无关组 (2)一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。 (3)一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性 表示
2 2. 极大线性无关组 定义1: 注:（1）只含零向量的向量组没有极大无关组. 简称极大无关组。 对向量组A，如果在A中有r个向量 1 2 , , , r 满足： （2）任意r＋1个向量都线性相关。（如果有的话） 0 1 2 : , , , （1） A r 线性无关。 那么称部分组 A0 为向量组 A 的一个极大线性无关组。 （2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。 （3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性 表示
2 2 例如:在向量组a1232=5 中 首先a1,a2线性无关,又1,C2,3线性相关, 所以a1C2组成的部分组是极大无关组。 还可以验证a2,C3也是一个极大无关组。 注:一个向量组的极大无关组一般不是唯一的
3 例如：在向量组 1 2 3 中， 2 4 2 1 2 1 , , 3 5 4 1 4 1 − − − = = = − 1 2 首先 , 线性无关， 又 1 2 3 , , 线性相关， 所以 1 2 , 组成的部分组是极大无关组。 还可以验证 2 3 , 也是一个极大无关组。 注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的
极大无关组的一个基本性质: 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。 又,向量组的极大无关组不唯一,而每一个极大无关组都 与向量组等价,所以: 向量组的任意两个极大无关组都是等价的。 由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量,可得 定理:一个向量组的任意两个极大无关组等价, 且所含向量的个数相同
4 极大无关组的一个基本性质： 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。 又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都 与向量组等价，所以： 向量组的任意两个极大无关组都是等价的。 由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得 一个向量组的任意两个极大无关组等价， 且所含向量的个数相同。 定理：
3.向量组的秩 定义2:向量组的极大无关组所含向量的个数 称为这个向量组的秩,记作r(a1,a2,…,a,) 2 例如:向量组3a2 的 5 秩为2
5 3. 向量组的秩 定义2：向量组的极大无关组所含向量的个数 称为这个向量组的秩, 记作 例如： 向量组 1 2 3 的 2 4 2 1 2 1 , , 3 5 4 1 4 1 − − − = = = − 秩为2。 1 2 ( , , , ) s r