coske-sinkecos-sinecosasinkecosko(sin-coskosing-sinkocosocoskocosの-sinkosin-sinkesin+coskecosesinkocos+coskosin(cos(k+1)0-sin(k+1)0(sin(k+1)0cos(k+1)0即当n=k+1时等式也成立。综合（1)、（2）可知，等式对VnEN+都成立。四、矩阵的转置定义设有mxn矩阵(ajiaina12a21a22a2nA=..a...amlam2将A的行换成同序数的列所得到的nxm矩阵(aa..ama12a22am2..AT-.ainan...a称为矩阵A的转置矩阵。矩阵的转置满足以下规律：(1) (A) =A(2) (A+B) =A +BT(3) (A) =^A(4) (AB)=B"A"(1 7 -1)(20-1)B=423求(AB).例 3已知A：32(201解1401722200143(AB) = BTAT713-3-1. 310设A为n阶方阵，若满足A=A，即a=α（i,j=1,2,n），则称A为n阶对称阵。对称阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。若方阵A满足A=-A，即28
28 cos sin sin cos k k k k − = cos sin sin cos − cos cos sin sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos k k k k k k k k − − − = + − + cos( 1) sin( 1) sin( 1) cos( 1) k k k k + − + = + + 即当 n k = +1 时等式也成立。 综合（1）、（2）可知，等式对 n N+ 都成立。 四、矩阵的转置 定义 设有 m n 矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a = 将 A 的行换成同序数的列所得到的 n m 矩阵 11 21 1 12 22 2 1 2 m T m n n mn a a a a a a A a a a = 称为矩阵 A 的转置矩阵。 矩阵的转置满足以下规律： （1） ( ) T T A A = （2） ( )T T T A B A B + = + （3） ( )T T A A = （4） ( )T T T AB B A = 例 3 已知 2 0 1 1 3 2 A − = ， 1 7 1 4 2 3 2 0 1 B − = ，求 ( )T AB . 解 ( )T AB T T = B A 1 4 2 2 1 7 2 0 0 3 1 3 1 1 2 = − − 0 17 14 13 3 10 = − 设 A 为 n 阶方阵，若满足 T A A = ，即 ij ji a a = （ i j n , 1,2, = ），则称 A 为 n 阶对称阵。对称阵的特 点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。 若方阵 A 满足 T A A = − ，即
a=-ai，ijag=0，i=j则称A为n阶反对称阵例4已知A是对称矩阵，B是反对称矩阵，即A=A，BI=-B，求证：（1）B2是对称矩阵；（2）AB+BA是反对称矩阵。证（1）因为(B)=(BB)=BBT=(-B)(-B)=B，所以B是对称矩阵。（2）因为(AB+BA) =(AB) +(BA)" = BT AT + A"BT =-BA+ A(-B)=-(AB+BA)所以AB+BA是反对称矩阵。例5设列矩阵X=（，x2，x）满足X"X=1，且H=E-2XXT（E为n阶单位矩阵），证明H是对称矩阵，且HH=E.证H=（E-2XX）=E-(2XX）=E-2XX=H，故H是对称矩阵。又HHI =H=(E-2XX) =E-4XXT+4(XX(XX')=E-4XXT+4X(X X)X=E-4XX"+4XX=E五、方阵的行列式定义由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作|A或det A.注意方阵与行列式是两个不同的概念，n阶方阵是n?个数按一定方式排成的数表，而n阶行列式则是由这些数（即数表A）按一定的运算法则所确定的一个数。由A确定A|的这个运算满足下列运算规律（设A、B均为n阶方阵，入为数）：(1) [A|=|A|(2) [A[=2"[A（3）「AB|=|A}|B|例5行列式|A|的各个元素的代数余子式A,所构成的如下的方阵(AlA2..AnA A2.. AznAAnAn2.Am称为方阵A的伴随短阵。试证：AA =AA=|A|E证设A=(a）)，记AA=(b,），则29
29 , 0 , ij ji ij a a i j a i j = − = = 则称 A 为 n 阶反对称阵。 例 4 已知 A 是对称矩阵， B 是反对称矩阵，即 T A A = ， T B B = − ，求证：（1） 2 B 是对称矩阵；（2） AB BA + 是反对称矩阵。 证 （1）因为 2 2 ( ) ( ) ( )( ) T T T T B BB B B B B B = = = − − = ，所以 2 B 是对称矩阵。 （2）因为 ( ) ( ) ( ) T T T T T T T AB BA AB BA B A A B + = + = + = − + − = − + BA A B AB BA ( ) ( ) 所以 AB BA + 是反对称矩阵。 例 5 设列矩阵 1 2 ( , , , )T X x x x = n 满足 1 T X X = ，且 2 T H E X X = − （ E 为 n 阶单位矩阵），证 明 H 是对称矩阵，且 T HH E = . 证 ( 2 ) (2 ) T T T T T T H E X X E X X = − = − 2 T = − = E X X H ，故 H 是对称矩阵。又 2 2 ( 2 ) T T HH H E X X = = − 4 4( )( ) T T T = − + E X X X X X X 4 4 ( ) T T T = − + E X X X X X X 4 4 T T = − + E X X X X = E 五、方阵的行列式 定义 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵 A 的行列式，记作 | | A 或 det A. 注意 方阵与行列式是两个不同的概念， n 阶方阵是 2 n 个数按一定方式排成的数表，而 n 阶行列式则 是由这些数（即数表 A ）按一定的运算法则所确定的一个数。 由 A 确定 | | A 的这个运算满足下列运算规律（设 A 、 B 均为 n 阶方阵， 为数）： （1） | | | | T A A = （2） | | A | | n = A （3） | | | | | | AB A B = 例 5 行列式 | | A 的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下的方阵 11 12 1 * 21 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A = 称为方阵 A 的伴随矩阵。试证： * * AA A A = = | | A E 证 设 ( ) A a = ij ，记 * ( ) AA b = ij ，则