第五章 定积分 高等数学少学时 2.引例2变速直线运动的路程 设物体作变速直线运动，已知速度v=v(t)是时间间隔[a,b] 上的连续函数，且v(t)≥0，计算在这段时间内物体所经过的路程. 匀速直线运动：路程=速度义时间. ①分割 a=t<t1<…<t-1<t<tn=b, △t,=t-t-1(i=1,2,…,n) b ②近似代替△s:≈v(t)△t: to ti t2 ti-1 ti tn-1tn t ③求和 s=∑A,≈2(e,)A ④取极限 =盟a,小s=m∑（红，. 1≤isn →0 北京邮电大学出版社
6 2.引例2 变速直线运动的路程 匀速直线运动： 路程=速度×时间. t a b 0 t 1 t 2 t i−1 t i t n−1 t n t i ① 分割 0 1 1 , i i n a t t t t t b = = − ② 近似代替 i i i s v( )t ( ) i n i i n i i s = s v t =1 =1 ③ 求和 max{ }, 1 i i n = t ④ 取极限 0 1 lim ( ) . n i i i s v t → = = t t t (i n) i i i 1,2, , = − −1 = 设物体作变速直线运动，已知速度 上的连续函数,且 v(t) 0, 计算在这段时间内物体所经过的路程. v = v(t) 是时间间隔 [ , ] a b
第五章定积分 高等数学少学时 3.定积分的定义 定义设fx)在[4，b]上有界，在4，b]中任意插入若干个分点 M=X0<X1<X2<…<X;-1<X,<…Xn=b, 把区间[a,b]分成n个小区间 [xox],[x1,x2],…,[xm-1,xn], 各个小区间的长度依次为 △X1=X1-X0,△c2=X2-X1,…,△xn=n-xm-1 在每个小区间x;-1,x】上任取一点5(x-1≤5≤x),(i=1,2,,m) 作函数值f(ξ)与小区间长度△x,的乘积f(5:)△x,(i=1,2,…,n) 北京邮电大学出版社
7 设f(x)在[a,b]上有界, 在[a,b]中任意插入若干个分点 , a = x0 x1 x2 xi−1 xi xn = b 把区间[a,b]分成n个小区间 , , , , , , , x0 x1 x1 x2 xn−1 xn 各个小区间的长度依次为 定义 作函数值 ( ) i i f ( i ) 与小区间长度 xi 的乘积 f x (i = 1,2, ,n) 在每个小区间 [xi−1 , xi ] 上任取一点 ( ), i xi−1 i xi (i = 1,2, ,n) , , , . x1 = x1 − x0 x2 = x2 − x1 xn = xn − xn−1 3.定积分的定义
第五章定积分 高等数学少学时 并作和式 S=∑f(5,)Ax 记入=max{△x,△x2,,△xn,如果不论对[4，b]怎样分，也不论在小 区间[x:-1,x:上点5怎样取，只要当2→0，和S总趋于确定的 极限I,我们就称fx)在区间[，b]上可积，并称这个极限为fx)在 区间[a上的定积分，记作∫f(x)d心，即 (dI f传，)A 2→0 i=1 北京邮电大学出版社 8
8 并作和式 ( ) 1 n i i i S f x = = max{ , , , }, 1 2 n 记 = x x x 如果不论对[a,b]怎样分, 也不论在小 极限I，我们就称f(x)在区间[a,b]上可积，并称这个极限为f(x)在 区间 [xi−1 , xi ] 上点 i 怎样取, 只要当 → 0, 和 S 总趋于确定的 ( )d , b a f x x 区间[a,b]上的定积分，记作 即 0 1 ( )d lim ( ) n b i i a i f x x I f x → = = =