第六章 微分方程 第六章 微分方程 高等数学少学时 一、基本内容 微分方程：--含有未知函数的导数（或微分)的方程。 微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数 的阶数。 通解： ...解中独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数。 特解：--满足初始条件的解。 1、可分离变量的微分方程：g(y)=∫(x) 解法：∫g(y)=∫f()→G()=F()+C 2、 齐次方程： 安-W=) y 解法：令u= 的 du y=x→ C d 北京邮电大学出版社
1 微分方程：----- 含有未知函数的导数（或微分）的方程。 微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数 一、基本内容 的阶数。 通解：----------- 解中独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数。 特解：----------- 满足初始条件的解。 g y dy f x dx ( ) = ( ) g y dy f x dx ( ) = ( ) G(y) = F(x)+C 1、可分离变量的微分方程： 解法： 2、齐次方程: f (x y) dx dy = , 解法： x y 令 u = y = ux dy du u x dx dx = + = x y 第六章 微分方程
第六章微分方程 3、一阶线性微分方程：非齐次与齐次 高等数学少学时 齐次： +P(x)y=0 dx 解法： =-P(x)k→y=CeP 非齐次： 0+P心w= 解法：①常数变易法 ②公式法J=e恤{〔e()ew在+C 4、可降阶的高阶微分方程： (1)y0=f(x)型的微分方程 解法：连续积分n次. 北京邮电大学出版社 2
2 P(x)y Q(x) dx dy + = + P(x)y = 0 dx dy P x dx ( ) y Ce− = 非齐次与齐次 解法： 解法： 齐次: 非齐次: ① 常数变易法 ② 公式法: ( ) dy P x dx y = − ( ) ( ) P x dx P x dx ( ) y e Q x e dx C − = + 3、一阶线性微分方程: 4、可降阶的高阶微分方程： 解法： ( ) ( ) n （1） y f x = 连续积分n 次. 型的微分方程
第六章 微分方程 高等数学少学时 (2)y”=f(x,y)型的微分方程 解法：令y'=p,则y”=p'p'=f(x,p) 设其通解为p=p(x,C1)→y'=p(x,C1) 两端积分便得原方程的通解为y=∫p(x,C,)+C, (3)y”=f(少，y)型的微分方程 解法：令Jy'=p,则y”= 迎.= dx dy dx py P零=心）一P=p=(c) 一∫oc】x+G 北京邮电大学出版社 3
3 解法： （2） y f x y = ( , ) 型的微分方程 令 y p = , 则 y p = p f x p = ( , ) 设其通解为 ( )1 p = x,C y x C = ( , 1 ) y x C dx C = + ( , 1 2 ) 两端积分便得原方程的通解为 (3) y f y y = ( , ) 型的微分方程 令 y' = p, 则 dx dp y" = f ( y, p) dy dp p = y p y C = = ( , 1 ) ( ) 2 1 , dy x C y C = + dx dy dy dp = . dy dp 解法： = p
第六章微分方程 高等数学少学时 5、二阶常系数齐次线性微分方程： 一般式：y”+y'+心y=0 解法： 特征方程r2+pr+q=0的两个根 微分方程y"+py'+y=0的通解 两个不相等的实根≠2 y=Cenx+Cex 两个相等的实根=2=r y=(C+C2x)em 一对共轭复根1,2=0士邛 y=e (CcosBx+C2sinBx) 北京邮电大学出版社
4 5、二阶常系数齐次线性微分方程: y py qy + + = 0 特征方程 r 2 + pr + q = 0 的两个根 两个不相等的实根 1 2 r r 两个相等的实根 r = r = r 1 2 一对共轭复根 r1,2 = i ( 1 2 cos sin ) x y e C x C x = + ( 1 2 ) rx y C C x e = + r x r x y C e C e 1 2 = 1 + 2 一般式： 解法： 微分方程 y"+ py'+qy = 0 的通解
第六章微分方程 6、二阶常系数非齐次线性微分方程： 高等数学少学时 一般式：y"+妙'+y=f(x) 解法：先求对应的齐次方程的通解； 再求非齐次的特解y* ①当f(x)=pm(x)ex时， y*=xe(x)e )不是特征根 是特征方程的单根 )是特征方程的重根 ②当f(x)=ex[p,(x)cos@x+Pn(x)sin@x]时， y*=xeis Ra(x)cosox+R (x)sin@x,m=maxi1,n) 入士io不是特征根 )士io是特征根 北京邮电大学出版社
5 6、二阶常系数非齐次线性微分方程: y"+ py'+qy = f (x) 解法：先求对应的齐次方程的通解Y; 再求非齐次的特解 y*. ① 当 时, x m f x p x e ( ) = ( ) * ( ) k x m y x Q x e = 2 λ是特征方程的重根 k = 0 λ不是特征根 1 λ是特征方程的单根 ②当 f (x) e [ p (x)cos x p (x)sin x] 时, l n x = + ( ) ( ) (1) (2) * cos sin , k x m m y x e R x x R x x = + 0 λ±iω不是特征根 k = 1 λ±iω是特征根 m = max{ l , n }. 一般式：