第四节函数展开成幕级数泰勒级数函数展开成幂级数■小结思考题
第四节 函数展开成幂级数 ◼ 泰勒级数 ◼ 函数展开成幂级数 ◼ 小结 思考题
将函数展开为幕幂级数的形式，在理论上和应用中都是十分重要的如，对函数作数值分析时，总离不开多项式逼近给定的函数，而幂级数的部分和恰是多项式所以有了函数展开成的幂级数，那未函数的多项式逼近、函数值的近似计算，以及一些积分、微分方程问题就应刃而解了间：哪些函数在怎样的区间上可展开为幂级数？幂级数的系数如何确定？这是本节要讨论的主要问题
所以有了函数展开成的幂级数,那末函数的 多项式逼近、函数值的近似计算,以及一些积分、 微分方程问题就应刃而解了. 将函数展开为幂级数的形式,在理论上和 应用中都是十分重要的. 如,对函数作数值分析时,总离不开多项式逼 近给定的函数,而幂级数的部分和恰是多项式. 问: 哪些函数在怎样的区间上可展开为幂级数? 幂级数的系数如何确定? 这是本节要讨论的主要问题
一、泰勒级数8YZ(-1≤x<1)上节例题: -ln(1-x)nn=180Z0(x-x)"存在幂级数在其收敛域f(x)=n=0内以f(x为和函数1.如果能展开，an是什么？2.展开式是否唯一？3.在什么条件下才能展开成幕级数？
一、泰勒级数 以f (x)为和函数 1.如果能展开, an 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数? = n=1 n n x 上节例题 (−1 x 1) 存在幂级数在其收敛域 内 − ln(1− x)
回顾金第三章第三节泰勒公式:若函数f(x)在xo的某邻域内有n+1阶导数，则f(x)可表为J(x)= f(x0)+ F'(x0)(x- x0)+ I"(0)2!x-x)" + R,(x)(1)n!n+()-x)"+l,5介于x与xo之间其中R,(x)(n + 1)!公式(1)是函数f(x)在x.处展开的泰勒公式R,(x)是拉格朗日余项
的某邻域内有n+1阶导数, 则 f (x)可表为: 公式(1)是函数f(x)在 处展开的泰勒公式, ( ) , ( 1)! ( ) ( ) 1 0 ( 1) + + − + = n n n x x n f 其中 R x 介于x与x0之间. 回顾 是拉格朗日余项. 第三章第三节泰勒公式 若函数f (x)在x0 : (1) ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x R x n f x x x f x f x f x f x x x n n n + + − + − = + − + 0 x ( ) R x n
如函数f(x)在xo的某邻域内是无穷次连续可微的，自然会想到：f(x)是否可展为如下的幂级数：f'(x)f"(xo)f(x)+(x-x)x-x)+1!2!(2)x-x.)" +...n!不管怎样称幕级数(②2)为函数f(x)在xo处的泰勒级数
如函数f (x)在x0的某邻域内是 (2) 称幂级数(2)为函数 f (x)在x0处的 f (x)是否可展为如下的幂级数: 自然会想到: 不管怎样 泰勒级数. 无穷次连续 可微的