第八节周期为21的周期函数的傅里叶级数傅里周期为21 的周期函数的叶级数典型例题■小结思考题
◼ 周期为2l 的周期函数的 傅里 叶级数 ◼ 典型例题 ◼ 小结 思考题 第八节 周期为2l 的周期函数的 傅里叶级数
以2伪周期的傅氏级数2元元: T = 2l,代入傅氏级数中018Qo(a, cosnox+b, sinnox)2n=1定理设周期为21l的周期函数f(x)满足收敛定理的条件.则它的傅里叶级数展开式为8n元xn元xf(x)="+E(an+bsin.cos2n=
T = 2l, = = T 2 定理 ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 l n x b l n x a a f x n n n = = + + ( cos sin ) 2 1 0 a n x b n x a n n n = + + 代入傅氏级数中 l 一、以2l为周期的傅氏级数 设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛 定理的条件,则它的傅里叶级数展开式为
其中系数an,b,为n元x[a,=,] f(x)cosdx(n = 0,1,2,..)nx=f(x)sindx(n = 1,2,...)(1) 如果f (x)为奇函数,则有8nxEb, sinf(x)=n=1nx其中系数 b,=”dx (n = 1,2,3, ...).1
其中系数an , bn为 x l n x f x l a l l n ( )cos d 1 − = x l n x f x l b l l n ( )sin d 1 − = 则有 = = 1 ( ) sin n n l n x f x b (n = 1,2,3, ). (n = 0,1,2, ) (n = 1,2, ) x l n x f x l b l n ( )sin d 2 0 = (1) 如果 f (x)为奇函数, 其中系数
(2) 如果,f(x)为偶函数,则有n元xf(x)="+a..cos1n=1nx2尔(n = 0,1,2, ..)dx其中系数ancoS=1注以2为周期的函数的傅里叶级数有一样的收敛定理,只是把元改为l
则有 = = + 1 0 cos 2 ( ) n n l n x a a f x x (n = 0,1,2, ) l n x f x l a l n ( )cos d 2 0 = 注 只是把 改为 偶函数, l. (2) 如果 f (x)为 其中系数 以2l为周期的函数的傅里叶级数有一样 的收敛定理
典型例题二、将f(x)周期延拓例在[-1,1]上把f(x)=x展开为傅里叶级数.1=1解f(x)为偶函数,展开为余弦级数2a-S.f(x)dx =dxX31nx- ()coscosnxdxXdxn1S4(n = 1,2,3, )-1)(n元)孔4(-1)">得 x2=x e[-1,1]十cosn元x23n元n=1
二、典型例题 解 l = 1 = l f x x l a 0 0 ( )d 2 3 2 2 d 1 0 2 = = x x x l n x f x l a l n ( )cos d 2 0 = = 1 0 2 2 x cos nxdx 2 ( ) 4 ( 1) n n = − (n = 1,2,3, ) 得 n x n x n n cos 4 ( 1) 3 1 1 2 2 2 = − = + x [−1,1] 将f (x)周期延拓 例 f (x)为偶函数,展开为余弦级数 2 在[ 1,1] ( ) . − = 上把f x x 展开为傅里叶级数