第五节函数的幂级数展开式的应用求极限函数值的近似计算1积分的近似计算欧拉(Euler)公式
第五节 函数的幂级数展开式 的应用 ◼ 求极限 ◼ 函数值的近似计算 ◼ 积分的近似计算 ◼ 欧拉(Euler)公式
一、求极限有些未定式的极限可以用幂级数方法求出这种方法的优点是：可以将极限过程中的主要、次要成份表示得非常清楚(o)x-sinx例求limts（0）x-→>0解：x→0，将sinx展开为x=0的幂级数.35卜xx3!x-sinx5!limlimt3x→0x-→0x-lim63!3!x-05!
一、求极限 有些未定式的极限 可以将极限过程中的主要、 例 求 3 0 sin lim x x x x − → 0 0 解 3 3 5 0 3 0 5! 1 3! 1 lim sin lim x x x x x x x x x x − − + − = − → → x → 0, ∴将sinx展开为x = 0的幂级数. 这种方法的优点是: 次要成份表示得非常清楚. 可以用幂级数方法求出. = − + → 2 0 5! 1 3! 1 lim x x 6 1 3! 1 = =
由此例可看出在求极限时为什么加、减项的无穷小不能用其等价无穷小代换这里，sinx与其等价无穷小x相差高阶无穷小+亏x5-…….这个高阶无穷小不能与分子的5第一项x 抵消,它在极限中是起作用的.但如果将sinx用x代换，则相当于将这个起作用的高阶无穷小也略去了，这显然是错误的
由此例可看出: 这里, sinx与其等价无穷小x相差高阶无穷小 . 5! 1 3! − 1 x 3 + x 5 − 这个高阶无穷小不能与分子 的 第一项x 抵消,它在极限中是起作用的.但如果将 sinx用x代换,则相当于将这个起作用的高阶无穷 小也略去了,这显然是错误的. 在求极限时,为什么加、减项 的无穷小不能用其等价无穷小代换
函数值的近似计算二、用函数的幂级数展开式，可以在展开式有效的区间内计算函数的近似值，而且可达到预先指定的精度要求，常用方法1.若余项是交错级数，则可用余和的首项来解决2.若不是交错级数，则放大余和中的各项，使之成为等比级数或其它易求和的级数，从而求出其和
二、函数值的近似计算 用函数的幂级数展开式, 常用方法 1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成 为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和. 可以在展开式有效 的区间内计算函数的近似值, 而且可达到预先指 定的精度要求
一例计算e的近似值，使其误差不超过101解 :e*=1+x+2!令x=1,得e~1+1+2!111余和:(n + 2)!(n + 3)!(n+1)!111(n + 3)(n + 2)n+2n+11(n + 1)!(n +1)n+l111<10-5=n·n!≥105(n+1)!n.n!n+1
例 解 , ! 1 2! 1 1 x = + + 2 ++ x n + n e x x 令 x = 1, , ! 1 2! 1 1 1 n 得 e + + ++ 余和: ) ( 3)( 2) 1 2 1 (1 ( 1)! 1 + + + + + + + = n n n n ( 1)! 1 n + ! 1 n n = 5 n n! 10 1 1 1 1 ( 1)! 1 + − + = n n + + + + + + ( 3)! 1 ( 2)! 1 ( 1)! 1 n n n rn (1 + )