《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第三章 导数与微分 3-5 函数的微分

3.可微(differentiable)的条件定理函数f(x)在点x,可微的充要条件是函数f(x)在点x处可导，且A=f(x)证 (1)必要性主：f(x)在点x,可微Ayo(△r).. Ay = A . Ax + o(Ar),4ArAxAyo(△x)则 limA+ limA.AxAr-0AxAr-→>0即函数f(x)在点x,可导，且A=f'(x)微积分经济数学

3. 可微(differentiable)的条件 ( ) , ( ). ( ) 0 0 0 f x x A f x f x x 数 在 点 处可导 且 =  定理 函 数 在 点 可微的充要条件是函 证 (1) 必要性 ( ) ,  f x 在点x0可微 y = A x + o(x), , ( ) x o x A x y   = +    x o x A x y x x   = +    →  → ( ) lim lim 0 0 则 = A. ( ) , ( ). 0 x0 即函数 f x 在点 x 可导 且A = f 

(2)充分性：函数f(x)在点x,可导Ay即limf'(x),= f'(x)+α,Ar→0 △xAx从而 Ay = f'(x)·△xr + α·(△x),: α→0 (△x-→0)= f'(x)· Ar + o(Ar),：函数f(x)在点x,可微，且f(x)=A.可导台可微A= f'(xo).函数y=f(x)在任意点x的微分，称为函数的微分，记作dy或df(x)，即dy=f'(x)Ax.2经济数学微积分

(2) 充分性 ( ) ( ), 从而 y = f  x0  x +  x ( ) , =  0 +    f x x y 即 ( ) , 函数f x 在点x0可导 lim ( ), 0 0 f x x y x =      →  → 0 (x → 0), ( ) ( ), = f  x0  x + o x ( ) , ( ) . 函数 f x 在点 x0可微 且 f  x0 = A . ( ). x0 可导 可微 A = f  , ( ), d ( ) . ( ) , dy df x y f x x y f x x =   = 微分 记作 或 即 函数 在任意点 的微分 称为函数的

例1求函数y=x3当x=2，△x=0.02时的微分解 : dy=(x3)Ax = 3xAx.= 3xAx= 0.24.:. dyC|x=2x=2Ar=0.02Ax=0.02通常把自变量x的增量△x称为自变量的微分记作dx，即dx=△x.dyf'(x):. dy = f'(x)dx.dx即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数．导数也叫"微商”经济数学微积分

例 1 解 2, 0.02 . 求函数 y = x3 当 x = x = 时的微分 dy = (x )x 3  3 . 2 = x x0.02 2 2 0.02 2 d 3  ==  =  = =  xx xx y x x = 0.24. , . , dx dx x x x =   记 作 即 通常把自变量 的增量 称为自变量的微分 dy = f (x)dx. ( ). dd f x xy =  . " ". d d 该函数的导数 导数也叫 微商 即函数的微分 y与自变量的微分 x之商等于

二、微分的几何意义(geometrical meaning of the differential)yI几何意义：（如图）N当△y是曲线的纵0(Ar)Aydy坐标增量时，dyMy= f(x)Ar就是切线纵坐标a对应的增量。0xoXo +△xx当△x很小时，在点M的附近切线段MP可近似代替曲线段MN经济数学微积分

二、微分的几何意义 y = f (x) 0 x M N T dy y o(x) ） x y o  x 几何意义:(如图) . , 对应的增量 就是切线纵坐标 坐标增量时 当 是曲线的纵 dy y x + x 0 P . , , MP MN x M 切线段 可近似代替曲线段 当  很小时 在点 的附近 ( geometrical meaning of the differential )

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则dy = f'(x)dx求法：计算函数的导数，乘以自变量的微分1.基本初等函数的微分公式d(x")= μxu-Idxd(C)= 0d(cos x) = -sin xdxd(sin x) = cos xdxd(tan x) = sec xdxd(cot x) = -csc2 xdxd(sec x) = sec x tanxdxd(csc x) = -cscxcot xdx经济数学微积分

三、基本初等函数的微分公式 与微分运算法则 dy = f (x)dx 求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C x x x d(sec ) sec tan d d(csc ) csc cot d d(tan ) sec d d(cot ) csc d d(sin ) cos d d(cos ) sin d d( ) 0 d( ) d 2 2 1 = = − = = − = = − = =  − 