第五节泰勒(Taylor)公式问题的提出一二、 Pn和Rn的确定三、表泰勒中值定理四、简单应用五、小结思考题经济数学微积分
一、问题的提出 二、Pn和Rn的确定 四、简单应用 五、小结 思考题 三、泰勒中值定理 第五节 泰勒(Taylor)公式
一、问题的提出1.设f(x)在x,处连续,则有[f(x)= f(x)+α]f(x) ~ f(x)2.设f(x)在x,处可导,则有f(x) ~ f(x.)+ f'(x.)(x-xo)[f(x) = f(x)+ f'(x)(x-x)+o(x-x)I例如，当x很小时，e＊～1+x ，In(1＋x)～x(如下图）品微积分经济数学
一、问题的提出 1.设 f (x)在x0处连续,则有 2.设 f (x)在 0 x 处可导,则有 例如, 当 x 很小时, e x x 1 + , ln(1 + x) x [ f (x) = f (x0 ) + ] [ ( ) ( ) ( )( ) ( )] 0 x0 x x0 o x x0 f x = f x + f − + − （如下图） ( ) ( ) 0 f x f x ( ) ( ) ( )( ) 0 x0 x x0 f x f x + f −
t2.5y=x0.8=et0.61.50.4y = In(1 + x)0.20.5N=1+x00.20.40.60.800.50.5经济数学微积分
x y = e y = 1+ x o x y = e o y = x y = ln(1 + x)
不足：1、精确度不高；2、误差不能估计问题：寻找函数P(x),使得f(x)~ P(x)误差 R(x)= f(x)-P(x) 可估计设函数,f(x)在含有x,的开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶导数P(x)为多项式函数P,(x)=a +a(x-x)+a,(x-x) +...+a,(x-x)误差R,(x)= f(x)-P,(x)如何确定P和R?经济数学微积分
不足: 问题: 寻找函数P(x),使得 f (x) P(x) 误差 R(x) = f (x) − P(x) 可估计 1、精确度不高； 2、误差不能估计. ●设函数 f (x)在含有x0的开区间(a,b)内 具有直到(n + 1) 阶导数, ●P(x)为多项式函数 n n n P (x) a a (x x ) a (x x ) a (x x ) 0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ − ●误差 R (x) f (x) P (x) n = − n 如何确定 Pn 和 Rn ？
二、P,和R,的确定分析:1.若在X点相交V近似程度越来越好y= f(x)P,(x)= f(xo)2.若有相同的切线P'(x)= f'(x)3.若弯曲方向相同x0tP"(xo) = f"(xo)经济数学微积分
二、Pn和Rn的确定 0 x y = f (x) o x y 分析: ( ) ( ) 0 0 P x f x n = ( ) ( ) 0 0 P x f x n = ( ) ( ) 0 0 P x f x n = 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近 似 程 度 越 来 越 好 1.若在 x0 点相交