第二节换元积分法一、第一类换元法二、第二类换元法3三、小结思考题经济数学微积分
一、第一类换元法 二、第二类换元法 三、小结 思考题 第二节 换元积分法
一、第一类换元法cos2xdx =(?)sin2x +C问题解决方法利用复合函数，设置中间变量过程令t=2x=dxdt.=2sin2x + Ccos 2xdx =cos tdt=sint222经济数学微积分
问题 cos d 2x x = ( )sin2x + C, 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令 t = 2x 1 2 = d d , x t cos d 2x x 1 2 = cos dt t = sint + C 2 1 sin2 . 2 1 = x + C 一、第一类换元法
在一般情况下：设 F'(u)= f(u), 则 (f(u)du= F(u)+C.如果u=(x)（可微）dF[p(x)] = f[p(x)lp'(x)dx( f[p(x)lp(x)dx = F[p(x)]+C=[J f(u)dulu=(x)由此可得换元法定理微积分经济数学
在一般情况下： 设 F(u) = f (u), 则 f u u F u C ( )d ( ) . = + 如果 u = (x) （可微） d [ ( )] [ ( )] ( )d F x f x x x = = + f x x x F x C [ ( )] ( )d [ ( )] ( ) [ ( )d ] u x = f u u = 由此可得换元法定理
设f(u)具有原函数，u=Φ(x)可导，定理1定理则有换元公式[ [p(x)]p'(x)dx = [] f(u)dulu=@(x)第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将 g(x)dx 化为 [ [p(x)lp'(x)dx.注意：观察点不同，所得结论不同考虑「sin2xdx如何求解？经济数学微积分
设 f (u)具有原函数， f x x x [ ( )] ( )d = ( ) [ ( )d ] u x f u u = 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 g x x ( )d 化为 f x x x [ ( )] ( )d . 注意：观察点不同，所得结论不同. u = (x)可导， 则有换元公式 定理 定理1 考虑 sin2xdx如何求解？
解法1sin2xdx t = 2x,dx = -dt1sin tdtcost + Ccos2x + C:222解法2sin 2xdx2sin xcos xdx t = sinx,dt = cosxdx2tdt = t +c= (sinx) +C;sin2xdx t = cosx,dt = -sinxdx解法32sinxcosxdx二-2[ tdt = -t +C = -(cosx) +C.微积分经济数学
解法1 sin d 2x x 1 1 2 2 = = − + sin d cos t t t C cos2 ; 2 1 = − x +C 解法2 sin d 2x x = 2 sin cos d x x x 2 = = + 2 t t t c d (sin ) ; 2 = x + C 1 2 2 t x x t = = ,d d t x t x x = = sin ,d cos d 解法3 sin d 2x x = 2 sin cos d x x x 2 = − = − + 2 t t t C d (cos ) . 2 = − x + C t x t x x = = − cos ,d sin d