《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第五章 不定积分 5-3 分部积分法

第三节分部积分法基本内容三、禁本内三、思考题经济数学微积分

一、基本内容 二、小结 三、思考题 第三节 分部积分法

基本内容I xe*dx =?问题解决思路利用两个函数乘积的求导法则设函数u=u(x)和v= v(x)具有连续导数(uv) = u'v+ uv',uv'=(uv) -u'v,uv'dx = uv-fu'vdx, [udy= uv-f vdu.分部积分(integrationbyparts)公式经济数学微积分

问题 d ? x xe x =  解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u = u(x)和v = v(x)具有连续导数, (uv) = uv + uv ,  uv (uv) − uv,   = uv x uv u v x   d d , = −   u v uv v u d d . = −   分部积分(integration by parts)公式 一、基本内容

例1求积分「xcosxdx。解 (一)令u=cosx,xdxd22[ xcosxdxsin xdxcosx22显然，u,v选择不当，积分更难进行解 (二)令 u= x, cosxdx =dsinx =dy[ xcosxdx ={ xdsinx = xsinx -sinxdx=xsinx+cosx+C.经济数学微积分

例1 求积分 x x x cos d .  解（一） 令 u = cos x, ( ) 1 2 d d d 2 x x x v = = x x x cos d  2 2 cos sin d 2 2 x x = + x x x  显然， u,v 选择不当，积分更难进行. 解（二） 令 u = x, cos d dsin d x x x v = = x x x cos d  = x x dsin  = − x x x x sin sin d  = xsin x + cos x +C

(x'e*dx.例2求积分解e*dx = dex = dv,u=xx’e*dx = x'e* -2[ xe*dx（再次使用分部积分法）u=x，e*dx=dyx’e* -2(xe* -e*)+C总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积，就考虑设幂函数为u,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)经济数学微积分

例2 求积分 2 d . x x e x  解 , 2 u = x d d d , x x e x e v = = 2 d x x e x  2 2 d x x = − x e xe x  2( ) . 2 x e xe e C x x x = − − + （再次使用分部积分法） u = x, d d x e x v = 总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 u , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数) 

例3求积分xarctan xdx解 令u=arctanx, xdx =duEd2x arctanxdxd(arctan x)arctanx2221?dxarcta221+x1dxarctanx2--arctanx) + C.arctanx22电经济数学微积分

例3 求积分 x x x arctan d .  解 令 u = arctan x , 2 d d d 2 x x x v   = =     x x x arctan d  2 2 arctan d(arctan ) 2 2 x x = − x x  2 2 2 1 arctan d 2 2 1 x x x x x = −  +  2 2 1 1 arctan (1 )d 2 2 1 x x x x = −  − +  ( arctan ) . 2 1 arctan 2 2 x x x C x = − − +