第十六讲广义逆应用 1
第十六讲 广义逆应用 1
一、矩阵方程AXB=D的相容性条件及通解 定理1.矩阵方程AXB=D相容（有解）的充要条件：AA四DB四B=D 在相容情况下矩阵方程的通解为： {ADBu+Y-AAYBB Y为阶数合适的任意矩阵} [证明]相容性条件的充分性： 己知AADDBDB=D,显然有解X=ADB四 相容性条件的必要性：己知AXB=D有解，设某个解为X,即 D=AXB=AADAXBBOB=AADDBB 现在证明通解：“通解”有两个含义：（1)解集合中的任何元素为 方程的解；(2)方程的任何解均可由集合中的元素表现出来。 2
一、 矩阵方程AXB D= 的相容性条件及通解 定理 1. 矩阵方程AXB D= 相容（有解）的充要条件： (1) (1) AA DB B D= 在相容情况下矩阵方程的通解为： { } (1) (1) (1) (1) A DB Y A AYBB | Y + − 为阶数合适的任意矩阵 [证明] 相容性条件的充分性： 已知 (1) (1) AA DB B D= ，显然有解 (1) (1) X A DB = 相容性条件的必要性：已知AXB D= 有解，设某个解为X，即 (1) (1) (1) (1) D AXB AA AXBB B AA DB B = = = 现在证明通解：“通解”有两个含义：（1）解集合中的任何元素为 方程的解；（2）方程的任何解均可由集合中的元素表现出来。 2
(1)令X=ADBD+Y-AAYBBO),代入AXB=D AXB=D+AYB-AYB=D ·.集合中的元素为方程的解 (2)设X为方程的解，即AXB=D X=ADDB()+X-A(DDB()=A(DDB()+X-A(DAXBB(1) 对应于集合中Y=X的情况。 [得证] 由上述证明可见：(1)通解中两个A山及两个B完全可以不同。 (2)通解集合中，不同的Y完全可能对应同一个解。 推论1.线性方程组Ax=b有解的充要条件为：AAb=b 3
（1）令 (1) (1) (1) (1) X A DB Y A AYBB = +− ，代入AXB D= AXB D AYB AYB D =+ − = ∴ 集合中的元素为方程的解 （2）设X为方程的解，即AXB D= (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) X A DB X A DB A DB X A AXBB = +− = +− 对应于集合中Y X= 的情况。 [得证] 由上述证明可见：（1）通解中两个 (1) A 及两个 (1) B 完全可以不同。 （2）通解集合中，不同的Y完全可能对应同一个解。 推论 1. 线性方程组Ax b = 有解的充要条件为： (1) AA b b = 3
且通解为{Ab+(L-AA)yIy为列向量} 推论2.A{I(AXA=A的解)为如下集合： (AOAA+Y-AOAYAAO (四个A可互不相同) 二、极小范数解 在方程有解时，完全可能是具有无穷多个解，实际中常常希望研 究其中具有特定性质的解，例如范数最小的解，即极小范数解。 引理1.方程Ax=b若有解，则必存在唯一的极小范数解（对2-范数）， 且该解在R(A)中。 [证明]设x是方程Ax=b的解，可将其分解为x=x,+y,其中 x∈R(AH)=NH(A)→x⊥N(A),y∈N(A) 4
且通解为{ } (1) (1) A b (I A A)y | y + −n 为列向量 推论 2. A 1{ } (AXA A ) = 的解 为如下集合： { } (1) (1) (1) (1) A AA Y A AYAA + − （四个 (1) A 可互不相同） 二、 极小范数解 在方程有解时，完全可能是具有无穷多个解，实际中常常希望研 究其中具有特定性质的解，例如范数最小的解，即极小范数解。 引理 1. 方程Ax b = 若有解，则必存在唯一的极小范数解（对 2-范数）， 且该解在 H R(A )中。 [证明] 设x是方程Ax b = 的解，可将其分解为 0 xx y = + ，其中 H 0 x R(A ) N (A) ⊥ ∈ = → 0 x N(A) ⊥ ，y N(A) ∈ 4
x xo+y =(xo+y)"(xo+y)=xxo+y"y =xo+y2 xo Ax=Axo+Ay=Axo+0=Axo=b 即：x,也是方程的解，也就是R(AH)中存在Ax=b的解。 假设R(AH)中存在方程Ax=b的两个解x,和x2,即Ax,=Ax2=b →Ax1-Ax2=0-→(X1-x2)∈N(A)同时(X1-X2)∈N(A) (K1-x2)eN(A)nN-(A)={0} X1=X2 也就是说在R(AH)中方程Ax=b只有唯一的解（若方程有解） 方程的任何其它解的2-范数均大于x,的2-范数 x。是极小范数解 [得证] 5
2 2 H HH 22 2 2 2 0 0 0 00 0 22 2 0 x x y (x y) (x y) x x y y x y x = + = + += + = + ≥ 而Ax Ax Ay Ax 0 Ax b = + = += = 0 00 即： 0 x 也是方程的解，也就是 H R(A )中存在Ax b = 的解。 假设 H R(A )中存在方程Ax b = 的两个解 1 x 和 2 x ，即Ax Ax b 1 2 = = → Ax Ax 0 (x x ) N(A) 1 2 12 − =→ − ∈ 同时 1 2 (x x ) N (A) ⊥ − ∈ ∴ (x x ) N(A) N (A) 0 1 2 { } ⊥ −∈ = ∴ 1 x ＝ 2 x 也就是说在 H R(A )中方程Ax b = 只有唯一的解（若方程有解） ∴ 方程的任何其它解的 2-范数均大于 0 x 的 2-范数 ∴ 0 x 是极小范数解 [得证] 5