dy例1 设 J= (cos x)i×, 求dx解法一这是幂指函数的导数可用取对数求导法计算但用全导数公式较简便法二令u= cosx, v=sinx, 则y=u"dy Qy du, ay dyYdx Ou dxvdx= vu"-I(-sin x)+ u' Inu(cos x)= (cos x)I+sin*[In cos x - tan2 x]
例1 设 求 . x y d d 这是幂指函数的导数, 但用全导数公式较简便. 法二 = x y d d y u v x (cos ) , sin x y = x 解 法一 令u = cos x, ( sin ) ln (cos ) 1 vu x u u x v v = − + − (cos ) [lncos tan ] 1 sin 2 x x x x = − + v 则y = u 可用取对数求导法计算. v = sin x, + x u u y d d x v v y d d
两个中间变量两个自变量2. z = f(u,D),u=Φ(x,y),v=y(x,y)的情形复合函数为z= f[(x,y),y(x,y)l如果u=p(x,y)及v=y(x,j)都在点(x,y)具有对x和y的偏导数，且函数z=f(u,v)在对应点(u,V)具有连续偏导数,则复合函数z= f[(x,y),y(x,y)]在对应点(x,y)的两个偏导数存在，且可用下列公式计算Oz. OvOzOz u.Oz OvOz OuOz.Qu axOv ax' QyaxOv QyQu Qy
z = f (u,v),u = (x, y),v =(x, y) 复合函数为 z = f[(x, y),(x, y)]. , x v v z x u u z x z + = 如 果u = (x, y)及v =(x, y)都在点(x, y) 具有对x和y的偏导数, 且函数z = f (u,v)在对 应点(u,v) 则复合函数 z = f[(x, y),(x, y)]在对应点(x, y)的两个 偏导数存在, 且可用下列公式计算 两个中间变量 两个自变量 具有连续偏导数, 2. 的情形. . y v v z y u u z y z + =
fip(x,y),y(x,y)7=变量树图Ozauzdvdz.avaxaxduaxavazaz.QuOzayayavOyQu
u v x z y = x z u z x u + v z x v = y z u z y u + v z y v 变量树图 u v z = f [( x, y), (x, y)]
azaz例2 设z=e"sinv,u= xy,v=x+ y，求%和ayaxOOvzOz u解o axax Ou ax=e" sinv. y+e" cosv.1= e*[ysin(x + y)+ cos(x + y)]zzuzv++v' ayQyQuQye" sinv.x+e" cosv.1= e*[xsin(x + y)+ cos(x + y)]
解 = xz uz xu + vz xv = e sinv y + e cos v 1 u u e [ ysin( x y) cos( x y)]. xy = + + + = yz uz yu + vz yv = e sinv x + e cos v 1 u u e [xsin( x y) cos( x y)]. xy = + + + 例 2 sin , , , u 设z e v u xy v x y = = = + . z z x y 求 和
类似地再推广，中间变量多于两个的情形设u = @(x,) v = w(x )w = o(x. v)三个中间变量两个自变量都在点(x,J）处具z = f[@(x,y),y(x,y),(x,y)l在对应点(x,y)u2W的两个偏导数存在，且可用下列公式计算：OzOz OuOz OvOz OwaxOu OxOv axOw ax7azOz. OuOz OvOz OwayavayOwayQu Qy
中间变量多于两个的情形 = x z = y z 类似地再推广, 设u = (x, y),v =(x, y),w = (x, y) 都在点(x, y)处具有对x和y的偏导数, 复合函数 z = f[(x, y),(x, y),(x, y)] 在对应点 (x, y) 的两个偏导数存在, 且可用下列公式计算: 三个中间变量两个自变量 u v w z w v u y x + x u u z + x v v z x w w z + y u u z + y v v z y w w z