《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章 向量代数与空间解析几何 8-2 第二节 数量积、向量积、混合积

第二节数量积向量积*混合积两向量的数量积两向量的向量积向量的混合积1小结思考题

第二节 数量积 向量积 *混合积 ◼ 两向量的数量积 ◼ 两向量的向量积 ◼ *向量的混合积 ◼ 小结 思考题

一、两向量的数量积引例 设一物体在常力 F作用下,沿与力夹角为的直线移动，位移为，则力F所做的功为FW =|F3|cos 001.定义3M2M设向量a,b的夹角为θ,称记作a.b[a/b cos 0W=F.3为α与b的数量积(点积)

一、两向量的数量积 M1 沿与力夹角为 的直线移动,  W = 1. 定义 设向量 的夹角为 ,称 记作 的数量积(点积) . 引例 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 F s cos  W F s  =  M2 a b a, b s 为 a 与 b

a.b=lalblcosoaIalcos =Prj,a: Ib Icos = Pr j,ba.b=ibiPrja=laPrj.b重要a.ba.bPrjb:Prj,a =1b1lal结论：两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积．（两向量的数量积的几何意义）

a  b   a b | a || b | cos      = | b | cos =   | a | cos =  结论：两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积. a b =   a j ab   = | | Pr  重要 | | Pr a a b j a b       = j ba  Pr  j ab  Pr  (两向量的数量积的几何意义) b j ab   Pr  | | | | Pr b a b j ab       =

a.b=lallblcos6数量积也称为“点积”或“内积”注对非零向量 a,b 有(1) 为锐角a·b>0;(2) 为钝角 台a.b<0.关于数量积的说明：(1) aa=ap.证:0=0,.a.a=laalcose=la?

数量积也称为 注 关于数量积的说明： | | . 2 a a a     =  = 0, aa =   证 “内积”. (1) (2)  ab  0;  a  b  0. | a || a | cos =   a b | a || b | cos      = | | . 2 a  (1) “点积”或 对非零向量 a b, 有  为锐角  为钝角

(2)a.b=0→ab.此时也称a与正交.证(→):a.b=0,la0,l0,元alb.0:.. cosO = 0,2'元:alb, ..0=():. cos0 = 0,2'a.b=lallblcoso= 0.例 i、、互相正交→i.=0,.=0k.i =0

() a  b = 0,    | a | 0,  | b | 0,  cos = 0, , 2   = a b.   ⊥ () a b,    ⊥ , 2   = cos = 0, a  b =| a || b | cos = 0.     证 a  b = 0    a b.   ⊥ 此时也称 i  j = 0,   (2) a  b  与 正交. 例 j  k = 0,   k  i = 0.   i、j、k 互相正交   