第四节 一阶线性微分方程线性方程1伯努利方程小结思考题
第四节 一阶线性微分方程 ◼ 线性方程 ◼ 伯努利方程 ◼ 小结 思考题
一、线性方程一阶线性微分方程的标准形式dy自由项+ P(x)y =Q(x)dx当Q(x)=0,上面方程称为齐次的;当Q(x)丰0,上面方程称为非齐次的dxdy如xsint+t，线性的;V-dtdx非线性的.yy'-2xy =3, y'-cos y = 1
一、线性方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 一阶线性微分方程的标准形式 当Q(x) 0, 上面方程称为 当Q(x) 0, 上面方程称为 如 , d d 2 y x x y = + sin , d d 2 x t t t x = + yy − 2xy = 3, y − cos y = 1, 线性的; 非线性的. 齐次的; 非齐次的. 一阶线性 自由项
一阶线性微分方程的解法dy + P(x)y = 0.1.线性齐次方程dx(使用分离变量法)dy = -P(x)dx,[%=-J P(x)dx,yIn | y=-{ P(x)dx+lnCj,(C,为任意常数)齐次方程的通解为y=Ce-JP(r)d(C =±e℃)
( ) 0. d d + P x y = x y ( )d , d P x x y y = − ( )d , d = − P x x y y 齐次方程的通解为 = − P x x y Ce ( )d 1. 线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法) (C1为任意常数) ( ) C1 C = e 1 ln | | ( )d ln , y P x x C = − +
例解微分方程y'+siny+xcosy+x=0yy2解原方程变形y'+2sin+2cosx=0COS42221y+x=0an2y22cos2VD+x=0tantan+ tan二u2.22一阶线性方程u'+u+x=0Ly原方程的解:Ce-x +(1-x)tan2
例 解微分方程 y + sin y + xcos y + x = 0 解 原方程变形 y + y + y 2 2cos 1 2 0 2 tan 2 tan + + = x y y u y = 2 tan u + u + x = 0 一阶线性方程 原方程的解 (1 ) 2 tan Ce x y x = + − − + 2 cos 2 2sin y y x y 2 2cos2 = 0 + 2 tan y x = 0
dy2.线性非齐次方程+ P(x)y =Q(x)dx线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况Ce-J P(x)dx线性齐次方程的通解是显然线性非齐次方程的解不会是如此,但它们之间应存在某种共性dy设想非齐次方程+ P(x)y= Q(x)的解是dx-[ P(x)dxC(x)V待定函数
2. 线性非齐次方程 + P x y = x y ( ) d d 线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况. , ( )d − P x x Ce 显然线性非齐次方程的解不会是如此, 之间应存在某种共性. 设想 ( ) ( ) d d P x y Q x x y 非齐次方程 + = 待定函数 线性齐次方程的通解是 但它们 Q(x) = − P x x y e ( )d C(x) 的解是