第三节导数的应用曲线的凹凸性与拐点小结思考题高等数学（上册）
第三节 导数的应用 曲线的凹凸性与拐点 小结 思考题
曲线凹凸性的判别法一、E(concave and convex)1.定义如何研究曲线的弯曲方向B可x高等数学（上册）
(concave and convex) 一、曲线凹凸性的判别法 1.定义 如何研究曲线的弯曲方向 x y O A B C
yy=f(x)yy= f(x)oX+xxxxolX,+X2X2 xx中22判别图形上任意弧段图形上任意弧段方法1位于所张弦的上方位于所张弦的下方定义1 设f(x)eC[a,b],如果对(a,b)内任意两点X1,X2,恒有f(xi)+ f(x2)f(x)+ f(x,)(+x)f(+x)2222那么称f(x)在(a,b)内的图形是凹(凸)的高等数学（上册）
y f ( x) y f ( x) x1 2 x 1 x x2 定义1 设f (x)C[a,b],如果对(a,b)内任意两点 , 2 ( ) ( ) ) 2 ( 1 2 1 x2 x x f x f f , , x1 x2 恒有 那么称f (x)在(a,b)内的图形是凹 的. 2 ( ) ( ) ) 2 ( 1 2 1 x2 x x f x f f (凸) 2 x1 x2 2 x1 x2 图形上任意弧段 位于所张弦的下方 图形上任意弧段 位于所张弦的上方 x y O x y O 判别 方法1
X= f(x)yVy= f(x)判别方法2atxx曲线弧上每一点的切线都在曲线的下(上)定义2方,称为凹(凸)弧.(丛几何直观上)从几何直观上,随着x的增大，凹弧的曲线段f(x)的切线斜率是单增的,即f(x)是单增的,而凸弧的切线斜率是单减的,即f(x)是单减的.利用二阶导数判断曲线的凹凸性高等数学（上册）
y f ( x) y f ( x) 定义2 曲线弧上每一点的切线 (上) 方,称为凹(凸)弧.(从几何直观上) 凹弧的曲线段 f (x)的切线斜率是单增的,即f (x)是单增的, 凸弧的切线斜率是单减的,即f (x)是单减的.而 利用二阶导数判断曲线的凹凸性 从几何直观上, 随着x的增大, 都在曲线的下 x y O x y O 判别 方法2
2.凹凸性的判别法VBBy= f(x)y= f(x)A判别可oab xbax方法3f'(x) 递减 f"(x)<0f'(x)递增 f"(x)>0定理如果f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数,在(a,b)内,若f"(x)>0 (<0),则f(x)在[a,b]上的图形是凹(凸)的.高等数学（上册）
f (x) 递增 f (x) 0 f (x) 递减 f (x) 0 定理 如果f (x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有 二阶导数,在 (a,b)内,若f (x) 0 ( 0), 则f (x) 在[a,b]上的图形是 凹(凸)的. 2. 凹凸性的判别法 x y O a b A B y f ( x) x y O a b A B y f ( x) 判别 方法3