第三节无穷小与无穷大一、无穷小二、无穷大三、小结思考题高等数学（上册）
一、无穷小 二、无穷大 三、小结 思考题 第三节 无穷小与无穷大
若limf(x)=0若limf(x）=0一、无穷小X-→x则f(x）是x→x。时的无穷小则f(x)是x→0时的无穷小l. 定义：如果函数 f(x)当x→x(或 x→)时的极限为零，那么称f(x)为当x→x(或x→8)时的无穷小：f(x)为当x→80时的无穷小f(x)为当x一→x时的无穷小台>0,3X>0,当x>X时，有000-8时，有f(x)<8f(x)|<8常用记号：α(x)、β(x)、(x)等高等数学（上册）
一、无穷小(infinitesimal) ) . ( ) ( ( ) ( ) 0 0 时的无穷小 时的极限为零 ，那么称 为当 或 如果函数 当 或 x f x x x 1. 定义: f x x x x 常 用 记 号 ： ( x )、 ( x )、 ( x )等
1(-1)"limlimsin x =lim例如计算：x>0x→8 xn→>n:limsinx=0，：函数sin x是当x→O时的无穷小x->01=0，：函数二是当x→α时的无穷小limx>8xx(-1)"(-1)"=0，.数列是当n→8时的无穷小limn→00nn注意（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆：（2）零是可以作为无穷小的唯一的数高等数学（上册）
例如计算： 0 limsin 0, x x 函数sin x是当x 0时的无穷小. lim 0 , 1 x x 1 x . x 函数 是当 时的无穷小 0 ( 1) lim , n n n ( 1) { } . n n n 数列 是当 时的无穷小 注意（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆; （2）零是可以作为无穷小的唯一的数. 0 limsin x x 1 lim x x ( 1) lim n n n
lim α(x) = 02.无穷小与函数极限的关系X→Xo定理1lim f(x)= A←> f(x)=A+α(x)X→Xo其中α(x)是当x→x.时的无穷小即：若limf（x）=A则f(x）=A+无穷小若f（x）=A+无穷小则limf（x）=A意义给出了函数f(x)在 x。附近的近似表达式 f(x)～ A,误差为α(x)高等数学（上册）
2. 无穷小与函数极限的关系: 0 0 lim ( ) ( ( ) ) ( ), x x f x A f x x A x x x 定 理 1 其 中 是 当 时 的 无 穷 小 . 意义 0 ( ) ( ) , ( ). f x x f x A x 给出了函数 在 附近的近似表达 式 误差为 0 lim ( ) 0 x x x 即：
3.无穷小的运算性质：定理2在自变量的同一变化过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小注意：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小例如，n→时，一是无穷小，但n个一之和为1不是无穷小n定理3有限个无穷小的乘积也是无穷小定理4有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论常数与无穷小的乘积是无穷小1例如,当x→o时,xsin=xarctan- =福福xx11所以,当x→o时，xsin都是无穷小arctanxxx高等数学（上册）
1 2 1 , x 0 , x sin , x arctan x x 所以 当 时 都是无穷小 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小. 定理3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 3. 无穷小的运算性质: 定理2 在自变量的同一变化过程中,有限个无穷小 的代数和仍是无穷小. 注意：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 例如 时 是无穷小， n n 1 , , 1 . 1 但 个 之和为 不是无穷小 n n 定理4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 1 , x 0 , x sin x 例如 当 时 0 0