第六节无穷小的比较高等数学（上册）
第六节 无穷小的比较
、无穷小的比较例如,0lim x = 0; limx? =: lim sin x =x->0x->0x-0所以，当x→时,x,x2,sinx都是无穷小limx?比3x趋于0要快得多；高阶的无穷小= 0,观察各极限x=0 3x0-0型)sin xsinx与x大致相同;等价的无穷小limx-→0xsin xsin xlim=oo.sinx比x2要慢低阶的无穷小limx-0x-→0xx极限不同，反映了趋于零的“快慢”禾程度不同高等数学（上册）
一、无穷小的比较 例如, x x x 3 lim 2 0 x x x sin lim 0 2 0 sin lim x x x 2 所以,当x 0时, x , x ,sin x 都是无穷小. 极限不同, 反映了趋于零的“快慢”程度不同. 2 x 比3x趋于0要快得多; sin x与x大致相同 ; 0, 1, 0 sin 1 lim( ) . x x x x 观 察 各 极 限 0 (0 型) sin . x比 x 2 要慢 2 0 0 0 lim ;lim ;limsin . x x x x x x
定义：设α.β是同一过程中的两个无穷小，且α±0() 如果 lim B=0 就说β是比α高阶的无穷小αo(α)记作β=o(α);因此代入得lim=0(2)如果 lim B=80，就说β是比α低阶的无穷小αβ(3)如果 limP=C±0,就说β与α是同阶的无穷小αβ特殊地,如果lim=1,则称β与α是等价的无穷小α记作α～ βB(4)如果 lim:C≠0.k>0.就说β是α的k阶的Qt无穷小高等数学（上册）
(1) l ) im 0 ( , o 如果 ，就说 是比 高阶的无 记 穷小 作 ； 定义:设,是同一过程中的两个无穷小,且 0. (3) lim C 0, ; 如果 就说 与 是同阶的无穷小 lim , ; 1 ; ~ 特殊地，如果 则称 与 是等价的无穷小 记作 ( ) lim ２ 如果 ，就说 是比 低阶的无穷小． (4) lim 0, 0, . k C k k 如果 就说 是 阶的 无穷小 的 ( ) lim 0 o 因此代入得
例如,0.(1):lim即 x2 = 0(3x) (x → 0)x0 3x：当x→0时，x2是比3x高阶的无穷小；0(3x)因此lim03xsinx1(2):lim即sinx~x (x→0)x→0x当x→0时，sinx与x是等价无穷小。定理1β与α是等价无穷小的的充分必要条件为β=α+o(α).称α是β 的主要部分，房高等数学（上册）
2 0 lim x 3 x x 0 sin lim x x x 0 3 ; 当 x 时，x 2 是比 x 高阶的无穷小 (3 ) ( 0). 即 x 2 o x x 当 x 0 时，sin x 与 x 是等价无穷小． 即 sin x ~ x (x 0). 例如, 为 称 是 的主要部分． 定理 与 是等价无穷小的的充分 必要条件 ( ). 1 o (3 ) lim 0. 3 o x x 因此 0. 1. (1) (2)
注：并非任何两个无穷小都可以比较。例当x→+8 时1sin x都是无穷小量f(x)=g(x)xxg(x)但 lim:lim sinx不存在且不为无穷大f(x)x-→+ox-→+80故当 x→+oo 时 f(x)和g(x)不能比较。高等数学（上册）
例当 x 时 , 1 ( ) x f x x x g x sin ( ) 都是无穷小量 但 ( ) ( ) lim f x g x x x x lim sin 不存在且不为无穷大 故当 x 时 f ( x)和g( x)不能比较. 注：并非任何两个无穷小都可以比较