第三节高阶导数高阶导数的定义三:、高阶导数的求导法则三、小结思考题高等数学（上册）
一 、高阶导数的定义 二、高阶导数的求导法则 三、小结 思考题 第三节 高阶导数
、高阶导数的定义(derivative of higher orders)问题：变速直线运动的加速度设 s= f(t),则瞬时速度为 v(t)= f'(t)：加速度a是速度v对时间的变化率:. a(t) = v'(t) =[f'(t)]}'定义如果函数f(x)的导数f(x)在点x处可导,即f'(x+x)- f'(x)(f'(x)'= limAxAr-→>0存在,则称(f(x))为函数f(x)在点x处的二阶导数高等数学（上册）
一、高阶导数的定义 问题:变速直线运动的加速度. 设 s f (t), 则瞬时速度为 v(t) f (t) 加速度a是速度v对时间t的变化率 a(t) v(t) [ f (t)] . 定义 , ( ( )) ( ) . ( ) ( ) ( ( )) lim ( ) ( ) , 0 存在 则称 为函数 在点 处的二阶导数 如果函数 的导数 在点 处可导 即 f x f x x x f x x f x f x f x f x x x (derivative of higher orders)
d'f(x)d2记作或f"(x), Jdr?dx二阶导数的导数称为三阶导数f"(x),三阶导数的导数称为四阶导数,, f(4)(x), y(4)一般地，函数f(x)的n-1阶导数的导数称为函数f(x)的n阶导数,记作d"f(x)d"yf(n)(x), j(n),或drndx二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数相应地，f(x)称为零阶导数：f(x)称为一阶导数高等数学（上册）
记作 . d d ( ) d d ( ), , 2 2 2 2 x f x x y f x y 或 函数 的 阶导数 记作 一般地 函数 的 阶导数的导数称为 ( ) , , ( ) 1 f x n f x n . d d ( ) d d ( ), , ( ) ( ) n n n n n n x f x x y f x y 或 三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应地, f (x)称为零阶导数; f (x)称为一阶导数. . d d ( ), , 3 3 x y 二阶导数的导数称为三阶导数 f x y , . d d ( ), , 4 4 (4) (4) x y f x y
高阶导数的求法法则1.直接法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数例1 设 y=arctan x,求f"(0), f"(0).1-2x解1+x?(1 +x*)?X2x2(3x2 -1)(1 + x)3-2x2(3x2 - 1)=-2f"(0)lx=0 =0; f"(0)x=0(1+x2)(1+ x")3高等数学（上册）
二、 高阶导数的求法法则 例1 设 y arctan x, 求f (0), f (0). 解 2 1 1 x y ) 1 1 ( 2 x y 2 2 (1 ) 2 x x ) (1 ) 2 ( 2 2 x x y 2 3 2 (1 ) 2(3 1) x x 2 2 0 (1 ) 2 (0) x x x f 2 3 0 2 (1 ) 2(3 1) (0) x x x 0; f 2. 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数
例2 设 =x~ (αR),求(n)解 j'=αxα-1j" =(αxα-1l) =α(α-1)xα-2y" = (α(α-1)xα-2)= α(α-1)(α-2)xα-3(n) = α(α-1) ...(α- n+1)xα-n(n ≥1)若α为自然数n,则= (mtl) =(x)ntl) =(nl) = 0.y(n) =(x")(") =n!,求n阶导数时,求出1-3或4阶后，不要急于合并分析结果的规律性,写出n阶导数.(可用数学归纳法证明)高等数学（上册）
例2 ( ), . (n) 设 y x R 求y 解 1 y x ( ) 1 y x 2 ( 1) x 3 ( 1)( 2) ( ( 1) ) x 2 y x ( 1) ( 1) ( 1) ( ) y n x n n n 若 为自然数n,则 ( ) ( ) ( ) n n n y x n!, ( 1) (n 1) ( ) ( !) n n y x n 0. 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(可用数学归纳法 证明)