第三节一阶微分方程在经济学中的综合应用一、微分方程在经济中的应用二、小结
一、微分方程在经济中的应用 二、小结 第三节 一阶微分方程在经济学中 的综合应用
一、微分方程在经济中的应用1，分析商品的市场价格与需求量（供应量）之间的函数关系例1某商品的需求量x对价格p的弹性为-pln3若该商品的最大需求量为1200（即p=0时，x=1200(p的单位为元，x的单位为干克）试求需求量x与价格p的函数关系，并求当价格为1元时市场上对该商品的需求量解dxP由已知-pln3dpx
１．分析商品的市场价格与需求量(供应量) 之间的函数关系 解 d ln3 d p x p x p 由已知 一 、微分方程在经济中的应用
dx即-x In3dpdx分离变量解此微分方程-In3dpxIn x = -pIn3+ InC两边积分得.. x = Ce-pln3再由p= 0,x=1200得，C=1200.:. x = 1200.3-p当价格为1元时，市场上对该商品的需求量为x = 1200·3-1 = 400(公斤)
d ln3 d x x p 即 分离变量解此微分方程 d ln3d x p x 两边积分得 ln x pln 3 lnC pln3 x Ce 再由 p 0, x 1200得， C 1200 p x 1200 3 1200 3 400 ( ) 1 1 公斤 当价格为 元时，市场上对该商品 的需求量为 x
例2设某种商品，它的价格主要由供求关系决定，设供给量S与需求量D均是依赖于价格的线性函数S=-a +bp(a,b,c,d为常数)D=c-dpa+c显然当供大于当供求平衡时，平衡价格pb+d求即S>D时，则价格p下降；当求大于供即D>S时，则价格p上升。现若价格是时间t的函数p=p(t），在时间t时，价格的变化率与此时刻的过剩需求量D-S成正比，即dpP=α(D-S)，其中α为大于0 的常数，试求价格pdt与时间t的函数关系.（设初始价格p(O)=Po)
dp解α>0牟由已知= α(D- S)dtdp即= α(c-dp+ a-bp) = α(a+c)-α(b+ d)pdtdp即+α(b+d)p=α(a+c)dt其通解为p= e- a a(te a"dt + c)这里p(t) =α(b+d),q(t) =α(a +c)α(a+c)-a(b+d)ta(b+d)所以p = ce-α(b+d)t Tα(b + d)
解 d ( ) d p D S t 由已知 d ( d ) ( ) ( ) d p c p a bp a c b d p t 即 d ( ) ( ) d p b d p a c t 即 ( )d ( )d ( ( ) d ) p t t p t t p e q t e t c 其通解为 这里p(t) (b d ),q(t) (a c) b d t b d t b d t e e b d a c p ce α ( ) α ( ) α ( ) α( ) α( ) 所以 0