第五节函数的微分微分的定义-二.微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、微分在近似计算中的应用五、小结思考题高等数学（上册）
一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式 与微分运算法则 五、小结 思考题 第五节 函数的微分 四、微分在近似计算中的应用
一、微分的定义(differential)1.实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量(△r)设边长由x.变到x。+△x，LAtAtAX：正方形面积A=x。，:. △A =(x。 + Ax)2 - x?A=xiXerA= 2x, ·Ax +(△x)2(1)(2)1)：△Ax的线性函数且为△A的主要部分2)：△的高阶无穷小当△x很小时可忽略高等数学（上册）
一、微分的定义(differential) 1.实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 2 A x0 0 x 0 x , 0 0 设边长由x 变到x x , 2 正方形面积 A x0 2 0 2 0 A (x x) x 2 ( ) . 2 0 x x x (1) (2) x的线性函数,且为A的主要部分; x的高阶无穷小,当x很小时可忽略. (1): (2): x x 2 (x) x0x x0x
正方形面积A=x2A=(x.+Ax)2-x)再例如,设函数=x在点x,处的改变量= 2x, ·Ax+(Ax)(1)(2)为△x时，求函数的改变量Ay设函数y=rAy=(x, +Ax) -x,Ay =(x。 + Ax)3 - x)=3x,-Ax+3x, (Ar)*+(Ar)2= 3x? . Ax +3x, :(Ar)? +(x)3(1)(2)当△x很小时，(2)是△x的高阶无穷小o(△x)既容易计算又是较好的近似值:. Ay ~ 3x? . Ax.高等数学（上册）
再例如, , . 0 3 x y y x x 为 时 求函数的改变量 设函数 在点 处的改变量 3 0 3 0 y (x x) x 3 3 ( ) ( ) . 2 3 0 2 0 x x x x x (1) (2) 当x很小时, 3 . 2 y x0 x (2)是x的高阶无穷小o(x), 既容易计算又是较好的近似值
函数凡）在点x处可微：2.定义AAx+o(Ar)AV设函数y=f(x)在某区间内有定义微分dyx.及xo+△x在这区间内，如果正方形面积A=xM=(x。+Ar) -x)Ay = f(x + △x) - f(xo) = A·△x+o(△x)=2x,-Ar+(Ar)(2)成立(其中A是与△x无关的常数)，则称函数设函数y=xAy=(x,+Ax)-xy=f(x)在点x.可微，并且称A·△x为函数=3x,-Ar+3x, (Ar) +(Ar))2y=f(x)在点x.相应于自变量增量△x的微分记作dyx=x或df(x），即dyx=x。=A·△x.微分dy=f（x）Ax微分dy叫做函数增量△y的线性主部（微分的实质）高等数学（上册）
2. 定义 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) , , ( ) ( ) ( ), ( ) , ( ) , d d ( ), ( d . ) x x x x y f x x x x f x x f x x y f x A x y A x o x A x y f x x f y A x x y x 设函数 在某区间内有定义 及 在这区间内 如果 成立 其中 是与 无关的常数 则称函数 在点 并且称 为函数 在点 相应于自变量 可 增量 分 微 的 或 即 微 记作 微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质) 微分dy 微分dy f (x)x
3.可微(differentiable)的条件定理函数f(x）在点x，可微的充要条件是函数f(x)在点x处可导, 且A=f"(xo).可导可微微分 dy = f'(x)△x通常把自变量x的增量△x称为自变量的微分记作dx，即dx=△x.微分就是导数微分dy= f'(x)dx与dx的乘积高等数学（上册）
3. 可微(differentiable)的条件 ( ) , ( ). ( ) 0 0 0 f x x A f x f x x 数 在点 处可导 且 定理 函数 在点 可微的充要条件是函 可导 可微. 微分dy f (x)dx. , . , dx dx x x x 记作 即 通常把自变量 的增量 称为自变量的微分 微分dy f (x)x