第二节一阶微分方程可分离变量的微分方程齐次方程二、三、一阶线性微分方程四、变量代换法解方程五、小结与思考题
一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 四、变量代换法解方程 第二节 一阶微分方程 三、一阶线性微分方程 五、小结与思考题
、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程g(y)dy = f(x)dxdy2x"y5 =→ y5dy = 2x'dx,例如dx解法设函数g(y)和f(x)是连续的分离变量法g(y)dy = J f(x)dx设函数G(y)和F(x)是依次为g(y)和 f(x)的原函数，G(y)= F(x)+C 为微分方程的解
一、可分离变量的微分方程 g( y)dy f (x)dx 可分离变量的微分方程. 4 2 5 d 2 d y x y x 例如 4 5 2 y dy 2x dx, 解法 设函数g( y)和 f ( x)是连续的, g( y)dy f (x)dx 设函数G( y)和F( x)是依次为g( y)和 f ( x)的原函 数, G( y) F(x) C 为微分方程的解. 分离变量法
=2xy的通解。例1求微分方程dxdy.解分离变量-=2xdx,ydy=[2xdx,两端积分LInly=x2 +CIy=e+C =e+?Cery=±C,er.y=Ce*为所求通解
例1 求微分方程 d 2 . d y xy x 的通解 解 分离变量 d 2 d , y x x y 两端积分 d 2 d , y x x y 2 1 ln | y | x C . 2 y Ce x 为所求通解 2 2 2 1 1 2 | | . x C x C x y e e e C e 2 2 2 C . x x y C e e
dy例 2求解方程:kydx（指数增长与指数衰减方程）解dy = kdx两端积分，得yIny= kx +c（c为任意常数）kx+c=e°.ekx = Aekx24从而 =e'其中A=e°为任意正常数，所以y =(± A)ek = Bekx
例 2 求 解方程 d d y ky x 1 dy kdx y ln y kx c （指数增长与指数衰减方程） kx Be
y = (± A)ekx= Bekxdy= kx 的解由此可知，微分方程dx当 k>0时总是指数增长的，当 k<0 时，总是指数衰减的
kx Be d d y kx x