第三节导数的应用函数的单调性小结思考题高等数学（上册）
函数的单调性 第三节 导数的应用 小结 思考题
函数的单调性(monotonicity)一1.单调性的判别法1-yyBy= f(x)y= f(x)BAbx0bxa0af'(x)≥ 0f'(x)≤0定理设函数y= f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(1)如果在(a,b)内 f'(x)>0，那么函数 y= f(x)在[a,b]上单调增加;(2)如果在(a,b)内f'(x)<0, 那么函数 y= f(x)在[a,b]上单调减少高等数学（上册）
一、函数的单调性(monotonicity) x y o y f (x) x y o y f (x) a b A B f (x) 0 f (x) 0 定理 1 ( , ) ( ( ) [ , ] (2 ( ) [ , ] ( , ) . ) 0 ) ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] . f x y a b y f f x f x a b a b x a b a b y f x a b 设函数 （）如果在 内 ，那么函数 在 在 上连续，在 内可导 上单调增加； 如果在 内 ，那么函数 在 上单调减少 a b B A 1．单调性的判别法
证xi,x, E(a,b), 且 x, < X2,应用拉氏定理,得(xi <≤<x2)f(x,)-f(x)= f'()(x, -x): x -x > 0,若在(a,b)内，f'(x)> 0,则 f'() > 0,: f(x2)>f(x). y=f(x)在[a,b]上单调增加若在(a,b)内，f'(x)<0,则 f()< 0,:. f(x2)< f(x). : y= f(x)在[a,bl]上单调减少C高等数学（上册）
证 , ( , ), 1 2 x x a b , 1 2 且 x x 应用拉氏定理,得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 f x f x f x x x x 0, x2 x1 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 1 f x f x y f (x)在[a,b]上单调增加. 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 1 f x f x y f (x)在[a,b]上单调减少
例1 讨论函数y=e＊-x-1的单调性解 定义域为(-80,+8)： y' = e* -1. 在(-00,0)内, y'<0,.函数在(-80,0单调减少;在(0,+80)内, y' >0,:函数在[0,+8)单调增加高等数学（上册）
例1 解 讨论函数y e x 1的单调性. x 1. x y e 在(,0)内, y 0, 函数在(,0]单调减少； 在(0,)内, y 0, 函数在[0,)单调增加. 定义域为(,)
2.．单调区间(monotonical interval)求法问题：如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在一些部分区间上单调。定义：若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点。方法：用方程f'(x)=0的根及f'(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间,然后判断区间内导数的符号高等数学（上册）
2．单调区间(monotonical interval)求法 如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在一些部分区间上单调． 定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调 区间的分界点． 方法: ( ) , ( ) 0 ( ) . f x 用 f x f x 来划分函数 的定义区间 然后判断区 方程 的根及 不存 间 内导数 在 点 的符号 的 问题: