第五节泰勒(Taylor)公式问题的提出一、、Pn和Rn的确定二、三、泰勒中值定理四、简单应用五、小结思考题高等数学（上册）
一 、问题的提出 二、Pn和Rn的确定 四、简单应用 五、小结 思考题 三、泰勒中值定理 第五节 泰勒(Taylor)公式
一、问题的提出用简单函数逼近复杂函数是数学研究中常用的手段。而简单函数选哪些呢？选用多项式函数是相对简单的。例如，在微分应用中近似计算公式，(回顾旧知如下)：或 f(x)= f(x)+ f'(x)(x-xo)当x很小时，有近似公式：(1) r/1+ x ~1+=x;(2) sin x ~ x(x为弧度):n(3) tan x~ x(x为弧度); (4)e*～ 1 +x一次函数(5) ln(1 + x) ~ x.高等数学（上册）
一、问题的提出 而简单函数选哪些呢？ 用简单函数逼近复杂函数是数学研究中常用的手段。 选用多项式函数是相对简单的。 例如, 在微分应用中近似计算公式，(回顾旧知如下): 1 (1) 1 1 ; (2) sin ( ); (3) tan ( ); (4) 1 ; (5) ln(1 ) . x n x x x x x n x x e x x x x 为弧度 为弧度 0 0 0 或 f (x) f (x ) f (x )(x x ). 一次函数
例如，当x很小时，e*～1+x ，In(1+x)～x42.5y=x0.800.61.50.4y = In(1 + x)0.20:5=1+x00.20.40.60.800.50.5高等数学（上册）
x y e y 1 x o x y e o y x y ln(1 x) 例如, 当 x 很小时, e x x 1 , ln(1 x) x
不足：1、精确度不高；2、误差不能估计.寻找多项式函数P(x),使得f(x)~P(x)问题：误差 R(x)=f(x)-P(x),可估计设函数f(x)在含有x,的开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶导数，P(x)为多项式函数P,(x)=a +a(x-x)+a,(x-x)+...+a,(x-x)误差R,(x)= f(x)-P,()如何确定P和R？高等数学（上册）
不足: 问题: 1、精确度不高； 2、误差不能估计. ●设函数 f (x)在含有 0 x 的开区间(a,b)内 具有直到(n 1) 阶导数, ●P( x)为多项式函数 n Pn (x) a a (x x ) a (x x ) an (x x ) 0 2 0 1 0 2 0 ●误差 R (x) f (x) P (x) n n 如何确定 Pn 和 Rn ？ f (x) P(x). 误差 R(x) f (x) P(x) ,可估计
二、P,和R,的确定分析:1.若在x点相交近似程度越来越好y= f(x)P,(x)= f(x)2.若有相同的切线P'(x)= f'(x)3.若弯曲方向相同xP'(xo)= f"(xo)高等数学（上册）
二 、Pn和Rn的 确 定 x0 y f (x) o x y 分析: ( ) ( ) 0 x0 P x f n ( ) ( ) 0 x0 P x f n ( ) ( ) 0 x0 P x f n 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近似程度越来越好 1.若在 x0点相交